ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $4^x — 5 \cdot 2^x = -6$;

б) $16^x = 6 \cdot 4^x — 5$;

в) $9^x — 7 \cdot 3^x = -12$;

г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$

Решить уравнение:

а) $4^x — 5 \cdot 2^x = -6$;
$2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 6 = 0$;
Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — 5y + 6 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
Первое значение:
$2^x = 2$;
$x = 1$;
Второе значение:
$2^x = 3$;
$x = \log_2 3$;
Ответ: $1; \log_2 3$

б) $16^x = 6 \cdot 4^x — 5$;
$4^{2x} — 6 \cdot 4^x + 5 = 0$;
Пусть $y = 4^x$, тогда:
$y^2 — 6y + 5 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$;
Первое значение:
$4^x = 1$;
$x = 0$;
Второе значение:
$4^x = 5$;
$x = \log_4 5$;
Ответ: $0; \log_4 5$

в) $9^x — 7 \cdot 3^x = -12$;
$3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 12 = 0$;
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — 7y + 12 = 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3$ и $y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$;
Первое значение:
$3^x = 3$;
$x = 1$;
Второе значение:
$3^x = 4$;
$x = \log_3 4$;
Ответ: $1; \log_3 4$

г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$;
$7^{2x} — 9 \cdot 7^x + 14 = 0$;
Пусть $y = 7^x$, тогда:
$y^2 — 9y + 14 = 0$;
$D = 9^2 — 4 \cdot 14 = 81 — 56 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7$;
Первое значение:
$7^x = 2$;
$x = \log_7 2$;
Второе значение:
$7^x = 7$;
$x = 1$;
Ответ: $1;{\log }_{7}2$$1; \log_7 2$

а) $4^x — 5 \cdot 2^x = -6$

Шаг 1. Преобразуем основание $4^x$ через $2^x$:

$$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2^{2x} — 5 \cdot 2^x = -6$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

$$2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 6 = 0$$

Шаг 3. Вводим замену переменной:
Пусть $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = y^2$

Получаем квадратное уравнение:

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение по формуле:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$:

1. $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$
2. $2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$

Ответ: $\boxed{1; \log_2 3}$

б) $16^x = 6 \cdot 4^x — 5$

Шаг 1. Запишем степени с одинаковыми основаниями:

$$16^x = (4^2)^x = 4^{2x}$$

Подставим в уравнение:

$$4^{2x} = 6 \cdot 4^x — 5$$

Шаг 2. Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$4^{2x} — 6 \cdot 4^x + 5 = 0$$

Шаг 3. Заменим переменную:
Пусть $y = 4^x$, тогда $4^{2x} = y^2$

Получим:

$$y^2 — 6y + 5 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант и корни:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$:

1. $4^x = 1 \Rightarrow x = 0$
2. $4^x = 5 \Rightarrow x = \log_4 5$

Ответ: $\boxed{0; \log_4 5}$

в) $9^x — 7 \cdot 3^x = -12$

Шаг 1. Представим $9^x$ как $3^{2x}$:

$$(3^2)^x = 3^{2x}$$

Подставим:

$$3^{2x} — 7 \cdot 3^x = -12$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

$$3^{2x} — 7 \cdot 3^x + 12 = 0$$

Шаг 3. Замена: пусть $y = 3^x$, тогда $3^{2x} = y^2$
Получаем:

$$y^2 — 7y + 12 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = 49 — 48 = 1$$ $$y_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

1. $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$
2. $3^x = 4 \Rightarrow x = \log_3 4$

Ответ: $\boxed{1; \log_3 4}$

г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$

Шаг 1. Перенесём всё в одну сторону:

$$-9 \cdot 7^x + 14 + 49^x = 0$$

Поскольку $49^x = (7^2)^x = 7^{2x}$, подставим:

$$-9 \cdot 7^x + 14 + 7^{2x} = 0$$

Запишем в удобном виде:

$$7^{2x} — 9 \cdot 7^x + 14 = 0$$

Шаг 2. Замена: пусть $y = 7^x$, тогда $7^{2x} = y^2$

Получаем квадратное уравнение:

$$y^2 — 9y + 14 = 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = 81 — 56 = 25$$ $$y_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$:

1. $7^x = 2 \Rightarrow x = \log_7 2$
2. $7^x = 7 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1;{\log }_{7}2}}$