ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $2^x \geq 9$;

б) $12^x \leq 7$;

в) $\left( \frac{1}{3} \right)^x < 4$;

г) $(0,2)^x > 5$

Решить неравенство:

а) $2^x \geq 9$;
$\log_2 2^x \geq \log_2 9$;
$x \geq \log_2 9$;
Ответ: $x \in [\log_2 9; +\infty)$.

б) $12^x \leq 7$;
$\log_{12} 12^x \leq \log_{12} 7$;
$x \leq \log_{12} 7$;
Ответ: $x \in (-\infty; \log_{12} 7]$.

в) $\left( \frac{1}{3} \right)^x < 4$;
$3^{-x} < 4$;
$\log_3 3^{-x} < \log_3 4$;
$-x < \log_3 4$;
$x > -\log_3 4$;
Ответ: $x \in (-\log_3 4; +\infty)$.

г) $(0,2)^x > 5$;
$\log_{0.2} (0.2)^x > \log_{0.2} 5$;
$x < \log_{1/5} 5$;
$x < -1$;
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

а) $2^x \geq 9$

Шаг 1. Дано показательное неравенство с основанием $2 > 1$.
Показательная функция при таком основании возрастает, поэтому сохраняется знак неравенства при логарифмировании.

Шаг 2. Применим логарифм по основанию 2 к обеим частям:

$$\log_2(2^x) \geq \log_2(9)$$

Шаг 3. Применим основное свойство логарифма:

$$\log_b(b^a) = a$$

Тогда:

$$x \geq \log_2 9$$

Шаг 4. Ответ записывается в виде множества всех $x$, удовлетворяющих неравенству:

$$x \in [\log_2 9; +\infty)$$

Ответ: $\boxed{x \in [\log_2 9;\ +\infty)}$

б) $12^x \leq 7$

Шаг 1. Основание $12 > 1$, функция возрастающая, знак сохраняется.

Шаг 2. Логарифмируем обе части по основанию 12:

$$\log_{12}(12^x) \leq \log_{12}(7)$$

Шаг 3. По свойству логарифма:

$$x \leq \log_{12} 7$$

Шаг 4. Записываем ответ в виде промежутка:

$$x \in (-\infty; \log_{12} 7]$$

Ответ: $\boxed{x \in (-\infty;\ \log_{12} 7]}$

в) $\left( \frac{1}{3} \right)^x < 4$

Шаг 1. Основание дробное:

$$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$

Следовательно:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = 3^{-x}$$

Тогда неравенство перепишется как:

$$3^{-x} < 4$$

Шаг 2. Применим логарифм по основанию 3:

$$\log_3(3^{-x}) < \log_3(4)$$

Шаг 3. По свойству логарифма:

$$\log_3(3^{-x}) = -x$$

Тогда:

$$-x < \log_3 4$$

Шаг 4. Умножим обе части на $-1$.
Важно: при умножении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный:

$$x > -\log_3 4$$

Шаг 5. Записываем ответ в виде промежутка:

$$x \in (-\log_3 4;\ +\infty)$$

Ответ: $\boxed{x \in (-\log_3 4;\ +\infty)}$

г) $(0.2)^x > 5$

Шаг 1. Основание $0.2 < 1$, функция убывающая.
При логарифмировании меняем знак на противоположный.

Шаг 2. Логарифмируем обе части по основанию $0.2$:

$$\log_{0.2}(0.2^x) > \log_{0.2}(5)$$

Шаг 3. По свойству логарифма:

$$x > \log_{0.2} 5$$

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется:

$$x < \log_{0.2} 5$$

Шаг 4. Переписываем основание:

$$0.2 = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5$$

Используем основное логарифмическое свойство:

$$\log_{a}(a^{-1}) = -1$$

Так как:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \Rightarrow \log_{1/5} 5 = -1$$

Шаг 5. Подставим:

$$x < -1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x\in (-\mathrm{\infty };-1)}}$