ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\log_x \frac{1}{27} = -3$;

б) $\log_x 3 = \frac{1}{2}$;

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4$;

г) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$

Решить уравнение:

а) $\log_x \frac{1}{27} = -3$;
$x^{-3} = \frac{1}{27}$;
$x^3 = 27$;
$x = \sqrt[3]{27} = 3$;
Ответ: 3.

б) $\log_x 3 = \frac{1}{2}$;
$x^{\frac{1}{2}} = 3$;
$x = 3^2 = 9$;
Ответ: 9.

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4$;
$x^{-4} = \frac{1}{16}$;
$x^4 = 16$;
$x = \sqrt[4]{16} = 2$;
Ответ: 2.

г) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$;
$x^{-\frac{1}{2}} = 4$;
$x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$;
$x = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$;
Ответ: $\frac{1}{16}$.

а) Решить уравнение:

$$\log_x \frac{1}{27} = -3$$

Шаг 1. Вспомним определение логарифма:

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

Шаг 2. Применим определение:

$$x^{-3} = \frac{1}{27}$$

Шаг 3. Перепишем правую часть:

$$\frac{1}{27} = 27^{-1}$$

Значит:

$$x^{-3} = 27^{-1}$$

Шаг 4. Возведём обе части уравнения в степень $-1$, чтобы убрать минус в показателе:

$$(x^{-3})^{-1} = (27^{-1})^{-1} \Rightarrow x^3 = 27$$

Шаг 5. Найдём кубический корень из 27:

$$x = \sqrt[3]{27} = 3$$

Проверка:

$$\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3 \quad \text{✓}$$

Ответ:

$$x = 3$$

б) Решить уравнение:

$$\log_x 3 = \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$x^{\frac{1}{2}} = 3$$

Шаг 2. Показатель $\frac{1}{2}$ означает корень второй степени:

$$\sqrt{x} = 3$$

Шаг 3. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$(\sqrt{x})^2 = 3^2 \Rightarrow x = 9$$

Проверка:

$$\log_9 3 = \frac{1}{2} \quad \text{✓}$$

Ответ:

$$x = 9$$

в) Решить уравнение:

$$\log_x \frac{1}{16} = -4$$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$x^{-4} = \frac{1}{16}$$

Шаг 2. Перепишем правую часть:

$$\frac{1}{16} = 16^{-1} \Rightarrow x^{-4} = 16^{-1}$$

Шаг 3. Возводим обе части в степень $-1$:

$$(x^{-4})^{-1} = (16^{-1})^{-1} \Rightarrow x^4 = 16$$

Шаг 4. Найдём корень четвёртой степени из 16:

$$x = \sqrt[4]{16}$$

Заметим, что:

$$16 = 2^4 \Rightarrow \sqrt[4]{2^4} = 2$$

Проверка:

$$\log_2 \frac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4 \quad \text{✓}$$

Ответ:

$$x = 2$$

г) Решить уравнение:

$$\log_x 4 = -\frac{1}{2}$$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$x^{-\frac{1}{2}} = 4$$

Шаг 2. Уберём минус из показателя, взяв обратную величину:

$$\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{-1} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{4} \Rightarrow x^{1/2} = \frac{1}{4}$$

Шаг 3. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$(x^{1/2})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \Rightarrow x = \frac{1}{16}$$

Проверка:

$$\log_{1/16} 4 = -\frac{1}{2} \quad \text{✓}$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{16}$$