ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметром а:

а) $4^x — 2^x + a = a \cdot 2^x$;

б) $9^x — (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a — 2 = 0$

Решить уравнение с параметром $a$:

а) $4^x — 2^x + a = a \cdot 2^x$;
$2^{2x} — 2^x — a \cdot 2^x + a = 0$;
$2^{2x} — (a + 1) \cdot 2^x + a = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — (a + 1)y + a = 0$;
$D = (a + 1)^2 — 4a = a^2 + 2a + 1 — 4a$;
$D = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2$, тогда:
$y_1 = \frac{(a + 1) — (a — 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$;
$y_2 = \frac{(a + 1) + (a — 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$;

Первое значение:
$2^x = 1$;
$x = 0$;

Второе значение:
$2^x = a$;
$x = \log_2 a$;

Ответ: $x = 0$, если $a \leq 0$;
$x_1 = 0, x_2 = \log_2 a$, если $a > 0$.

б) $9^x — (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a — 2 = 0$;
$3^{2x} — (2a + 1) \cdot 3^x + (a^2 + a — 2) = 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — (2a + 1)y + (a^2 + a — 2) = 0$;
$D = (2a + 1)^2 — 4(a^2 + a — 2)$;
$D = 4a^2 + 4a + 1 — 4a^2 — 4a + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{(2a + 1) — 3}{2} = \frac{2a — 2}{2} = a — 1$;
$y_2 = \frac{(2a + 1) + 3}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$;

Первое значение:
$3^x = a — 1$;
$x = \log_3 (a — 1)$;

Второе значение:
$3^x = a + 2$;
$x = \log_3 (a + 2)$;

Ответ: $x \in \varnothing$, если $a \leq -2$;
$x = \log_3 (a + 2)$, если $-2 < a \leq 1$;
$x_1 = \log_3 (a + 2), x_2 = \log_3 (a — 1)$, если $a > 1$.

а) Решить уравнение:

$$4^x — 2^x + a = a \cdot 2^x$$

Шаг 1.

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2 = 2^{2x}$.
Подставим в уравнение:

$$2^{2x} — 2^x + a = a \cdot 2^x$$

Шаг 2.

Перенесём все в одну сторону уравнения:

$$2^{2x} — 2^x — a \cdot 2^x + a = 0$$

Шаг 3.

Вынесем $2^x$ как общий множитель из двух слагаемых:

$$2^{2x} — (1 + a) \cdot 2^x + a = 0$$

Шаг 4.

Введём замену переменной:

$$y = 2^x, \quad y > 0$$

Тогда уравнение становится:

$$y^2 — (a + 1)y + a = 0$$

Шаг 5.

Решим квадратное уравнение:

$$D = [-(a + 1)]^2 — 4 \cdot 1 \cdot a = (a + 1)^2 — 4a$$ $$D = a^2 + 2a + 1 — 4a = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2$$

Шаг 6.

Найдём корни:

$$y_1 = \frac{a + 1 — (a — 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{a + 1 + (a — 1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$$

Шаг 7.

Вернёмся к переменной $x$:

Первое значение:

$$2^x = 1 \Rightarrow x = \log_2 1 = 0$$

Второе значение:

$$2^x = a \Rightarrow x = \log_2 a$$

Шаг 8.

Учитываем область допустимых значений:
$\log_2 a$ определён только при $a > 0$

Ответ:

• Если $a \leq 0$, то $x = 0$
• Если $a > 0$, то два решения:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = \log_2 a$$

б) Решить уравнение:

$$9^x — (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a — 2 = 0$$

Шаг 1.

Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2 = 3^{2x}$

Подставим в уравнение:

$$3^{2x} — (2a + 1) \cdot 3^x + (a^2 + a — 2) = 0$$

Шаг 2.

Введём замену переменной:

$$y = 3^x, \quad y > 0$$

Тогда уравнение становится:

$$y^2 — (2a + 1)y + (a^2 + a — 2) = 0$$

Шаг 3.

Решим квадратное уравнение.
Найдём дискриминант:

$$D = (2a + 1)^2 — 4(a^2 + a — 2)$$

Выполним раскрытие скобок:

$$D = 4a^2 + 4a + 1 — 4a^2 — 4a + 8 = 9$$

Шаг 4.

Корни:

$$y_1 = \frac{(2a + 1) — \sqrt{9}}{2} = \frac{2a + 1 — 3}{2} = \frac{2a — 2}{2} = a — 1$$ $$y_2 = \frac{(2a + 1) + \sqrt{9}}{2} = \frac{2a + 1 + 3}{2} = \frac{2a + 4}{2} = a + 2$$

Шаг 5.

Вернёмся к переменной $x$:

Первое значение:

$$3^x = a — 1 \Rightarrow x = \log_3 (a — 1)$$

Второе значение:

$$3^x = a + 2 \Rightarrow x = \log_3 (a + 2)$$

Шаг 6.

Учтём ограничения на аргументы логарифмов:

• $a — 1 > 0 \Rightarrow a > 1$
• $a + 2 > 0 \Rightarrow a > -2$

Шаг 7.

Рассмотрим случаи:

• Если $a \leq -2$, то $a + 2 \leq 0 \Rightarrow$ ни один логарифм не определён → решений нет
• Если $-2 < a \leq 1$, то $a + 2 > 0$, но $a — 1 \leq 0$ → только одно решение:

$$x = \log_3 (a + 2)$$

• Если $a > 1$, то оба выражения положительны → два решения:

$$x_1 = \log_3 (a + 2), \quad x_2 = \log_3 (a — 1)$$

Ответ:

• $x \in \varnothing$, если $a \leq -2$
• $x = \log_3 (a + 2)$, если $-2 < a \leq 1$
• $x_1 = \log_3 (a + 2), \; x_2 = \log_3 (a — 1)$, если $a > 1$