ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\log }_2{2}^4$

б) ${\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-7}$

в) ${\log }_8{8}^{-3}$

г) ${\log }_{\mathrm{0,1}}(\mathrm{0,1}{)}^5$

Вычислить значение:

а) $\log_2 2^4 = 4$;
Ответ: 4.

б) $\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7$;
Ответ: $-7$.

в) $\log_8 8^{-3} = -3$;
Ответ: $-3$.

г) $\log_{0{,}1} (0{,}1)^5 = 5$;
Ответ: 5.

а) $\log_2 2^4$

Шаг 1. Вспомним определение логарифма степени:

$$\log_a (a^x) = x$$

Это верно для любого $a > 0, a \ne 1$, и любого действительного числа $x$.

Шаг 2. Применим это к нашему примеру:

$$\log_2 (2^4) = 4$$

Почему? Потому что:

Логарифм по основанию 2 от степени числа 2 — это просто показатель степени:

$$\log_2 (2^4) = 4$$

Ответ: 4

б) $\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$

Шаг 1. Применим то же свойство логарифма:

$$\log_a (a^x) = x$$

Здесь:

• Основание логарифма: $a = \frac{1}{3}$
• Аргумент: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = a^{-7}$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-7}\right) = -7$$

Обоснование:

Основание и основание степени совпадают, значит логарифм просто «убирает» степень:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7$$

Ответ: –7

в) $\log_8 8^{-3}$

Шаг 1. Применим свойство:

$$\log_a (a^x) = x$$

Тут:

• Основание логарифма: $a = 8$
• Аргумент: $8^{-3} = a^{-3}$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_8 (8^{-3}) = -3$$

Пояснение:

Так как основание логарифма и основание степени совпадают, логарифм просто возвращает показатель:

$$\log_8 (8^{-3}) = -3$$

Ответ: –3

г) $\log_{0{,}1} (0{,}1)^5$

Шаг 1. То же свойство:

$$\log_a (a^x) = x$$

Тут:

• Основание: $a = 0{,}1$
• Аргумент: $(0{,}1)^5 = a^5$

Шаг 2. Применим:

$$\log_{0{,}1} \left((0{,}1)^5\right) = 5$$

Пояснение:

Несмотря на то, что основание логарифма меньше 1, это не влияет на правило. Формула работает для любого $a > 0$, $a \ne 1$:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{0{,}1} (0{,}1)^5 = 5$$

Ответ: 5$$\log_a (a^x) = x$$