ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\log }_3\frac{1}{27}$

б) ${\log }_{\mathrm{0,1}}\mathrm{0,0001}{}_{}$

в) $\lg \mathrm{0,0001}$

г) ${\log }_{\frac{1}{3}}81$

Вычислить значение:

а) $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \log_3 3^{-3} = -3$;
Ответ: $-3$.

б) $\log_{0{,}1} 0{,}0001 = \log_{0{,}1} 0{,}1^4 = 4$;
Ответ: $4$.

в) $\lg 0{,}0001 = \lg 10^{-4} = -4$;
Ответ: $-4$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} 3^4 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = -4$;
Ответ: $-4$.

а) $\log_3 \frac{1}{27}$

Шаг 1. Распишем дробь в виде степени:

$$\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$$

Потому что:

$$27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$$

Шаг 2. Перепишем логарифм:

$$\log_3 \left(\frac{1}{27}\right) = \log_3 \left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)$$

Шаг 3. Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^3 = (3^{-1})^3 = 3^{-3}$$

Значит:

$$\log_3 \left(\frac{1}{27}\right) = \log_3 (3^{-3})$$

Шаг 4. Применим основное свойство логарифма:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_3 (3^{-3}) = -3$$

Ответ: $-3$

б) $\log_{0{,}1} 0{,}0001$

Шаг 1. Представим $0{,}0001$ как степень:

$$0{,}0001 = 10^{-4}$$

Также:

$$0{,}1 = 10^{-1} \Rightarrow (0{,}1)^4 = (10^{-1})^4 = 10^{-4}$$

Значит:

$$0{,}0001 = (0{,}1)^4$$

Шаг 2. Запишем логарифм:

$$\log_{0{,}1} (0{,}0001) = \log_{0{,}1} (0{,}1)^4$$

Шаг 3. Применим свойство логарифма степени:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{0{,}1} (0{,}1)^4 = 4$$

Ответ: $4$

в) $\lg 0{,}0001$

Шаг 1. Вспомним:

$\lg x = \log_{10} x$

Шаг 2. Представим число как степень 10:

$$0{,}0001 = 10^{-4}$$

Шаг 3. Подставим:

$$\lg (0{,}0001) = \lg (10^{-4}) = -4$$

Потому что:

$$\log_{10} (10^{-4}) = -4$$

Ответ: $-4$

г) $\log_{\frac{1}{3}} 81$

Шаг 1. Представим число $81$ как степень 3:

$$81 = 3^4$$

Шаг 2. Перепишем логарифм:

$$\log_{\frac{1}{3}} (81) = \log_{\frac{1}{3}} (3^4)$$

Шаг 3. Представим $3^4$ через $\frac{1}{3}$:

$$3^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$$

Потому что:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = \left(3^{-1}\right)^{-4} = 3^4$$

Шаг 4. Подставим:

$$\log_{\frac{1}{3}} (81) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}\right)$$

Шаг 5. Применим основное свойство логарифма:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-4}\right) = -4$$

Ответ: $-4$

Итоговые ответы:

а) $\log_3 \frac{1}{27} = -3$
б) $\log_{0{,}1} 0{,}0001 = 4$
в) $\lg 0{,}0001 = -4$
г) $\log_{\frac{1}{3}} 81 = -4$