ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\log }_{\sqrt{7}}49$

б) ${\log }_{\sqrt{2}}(2\sqrt{8})$

в) ${\log }_{\frac{1}{15}}(225\sqrt[3]{15})$

г) ${\log }_{\frac{3}{2}}\frac{64}{729}$

Вычислить значение:

а) $\log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{\sqrt{7}} 7^2 = \log_{\sqrt{7}}(\sqrt{7})^{2 \cdot 2} = 2 \cdot 2 = 4$;
Ответ: 4.

б) $\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{8}) = \log_{\sqrt{2}}\left((\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^3\right) = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^{2+3} = 2 + 3 = 5$;
Ответ: 5.

в) $\log_{\frac{1}{15}}(225\sqrt[3]{15}) = \log_{\frac{1}{15}}\left(15^2 \cdot 15^{\frac{1}{3}}\right) = \log_{\frac{1}{15}}\left(\frac{1}{15}\right)^{-2 — \frac{1}{3}} = -2 — \frac{1}{3} = -2\frac{1}{3}$;
Ответ: $-2\frac{1}{3}$.

г) $\log_{\frac{3}{2}}\frac{64}{729} = \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{2}{3}\right)^6 = \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{3}{2}\right)^{-6} = -6$;
Ответ: $-6$.

а) $\log_{\sqrt{7}} 49$

Шаг 1. Представим 49 как степень 7:

$$49 = 7^2$$

Шаг 2. Представим 7 как квадрат корня из 7:

$$7 = (\sqrt{7})^2 \Rightarrow 7^2 = ((\sqrt{7})^2)^2 = (\sqrt{7})^{2 \cdot 2} = (\sqrt{7})^4$$

Шаг 3. Подставим в логарифм:

$$\log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{\sqrt{7}} (\sqrt{7})^4$$

Шаг 4. Применим свойство:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\sqrt{7}} (\sqrt{7})^4 = 4$$

Ответ: 4

б) $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8})$

Шаг 1. Разложим оба множителя через $\sqrt{2}$

• $2 = (\sqrt{2})^2$
• $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{3/2} = (\sqrt{2})^3$

Шаг 2. Перепишем выражение:

$$2\sqrt{8} = (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2})^{2+3} = (\sqrt{2})^5$$

Шаг 3. Подставим в логарифм:

$$\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) = \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^5$$

Шаг 4. Применим свойство:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^5 = 5$$

Ответ: 5

в) $\log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15})$

Шаг 1. Представим 225 как степень 15:

$$225 = 15^2$$

Шаг 2. Запишем корень как степень:

$$\sqrt[3]{15} = 15^{1/3}$$

Шаг 3. Перепишем произведение:

$$225\sqrt[3]{15} = 15^2 \cdot 15^{1/3} = 15^{2 + 1/3} = 15^{\frac{7}{3}}$$

Шаг 4. Представим $15^{7/3}$ через $\frac{1}{15}$:

$$15^{7/3} = \left(\frac{1}{15}\right)^{-7/3}$$

Потому что:

$$\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n \Rightarrow a^n = \left(\frac{1}{a}\right)^{-n}$$

Шаг 5. Подставим в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) = \log_{\frac{1}{15}} \left(\frac{1}{15}\right)^{-7/3}$$

Шаг 6. Применим свойство:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\frac{1}{15}} \left(\frac{1}{15}\right)^{-7/3} = -\frac{7}{3}$$

Шаг 7. Преобразуем в смешанное число:

$$-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$$

Ответ: $\log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) = -2\frac{1}{3}$

г) $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}$

Шаг 1. Запишем числитель и знаменатель как степени:

• $64 = 2^6$
• $729 = 3^6$

Значит:

$$\frac{64}{729} = \left(\frac{2}{3}\right)^6$$

Шаг 2. Представим $\frac{2}{3}$ как обратную дробь к основанию:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^6 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-6}$$

Шаг 3. Подставим в логарифм:

$$\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{64}{729}\right) = \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)^{-6}$$

Шаг 4. Применим свойство:

$$\log_a (a^x) = x \Rightarrow \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)^{-6} = -6$$

Ответ: –6

Итоговые ответы:

а) $\log_{\sqrt{7}} 49 = 4$
б) $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) = 5$
в) $\log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) = -2\frac{1}{3}$
г) $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729} = -6$