ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^{{\log }_{3}8}$

б) $4^{{\log }_{4}23}$

в) ${12}^{{\log }_{12}\mathrm{1,3}}$

г) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{{\log }_{\frac{1}{4}}7}\mathrm{}$

Вычислить значение:

а) $3^{\log_3 8} = 8$;
Ответ: 8.

б) $4^{\log_4 23} = 23$;
Ответ: 23.

в) $12^{\log_{12} 1{,}3} = 1{,}3$;
Ответ: 1,3.

г) $\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 7} = 7$;
Ответ: 7.

Основное логарифмическое тождество:
Если $a > 0$, $a \ne 1$, и $x > 0$, то

$$a^{\log_a x} = x$$

Это тождество используется во всех следующих примерах.

а) $3^{\log_3 8}$

Основание степени: $3$

Показатель степени: логарифм по основанию 3 от числа 8, то есть $\log_3 8$

Применим основное логарифмическое тождество:
$3^{\log_3 8} = 8$

Это верно, потому что степень с основанием 3 и логарифмом по основанию 3 «взаимоуничтожаются», оставляя только число 8.
Ответ: 8

б) $4^{\log_4 23}$

Основание степени: $4$

Показатель степени: логарифм по основанию 4 от числа 23, то есть $\log_4 23$

Применим основное тождество:
$4^{\log_4 23} = 23$

Это работает, потому что показатель степени «говорит» нам, в какую степень надо возвести основание (4), чтобы получить 23.
Ответ: 23

в) $12^{\log_{12} 1{,}3}$

Основание степени: $12$

Показатель степени: логарифм по основанию 12 от числа 1,3, то есть $\log_{12} 1{,}3$

По основному тождеству:
$12^{\log_{12} 1{,}3} = 1{,}3$

Действие логарифма и экспоненты с тем же основанием взаимно обратны, поэтому результат — просто число под логарифмом.
Ответ: 1,3

г) $\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 7}$

Основание степени: $\frac{1}{4}$

Показатель степени: логарифм по основанию $\frac{1}{4}$ от 7, то есть $\log_{\frac{1}{4}} 7$

Применим основное тождество:
$\left( \frac{1}{4} \right)^{\log_{\frac{1}{4}} 7} = 7$

Хотя основание дробное, тождество всё равно действует, так как основание положительное и не равно 1.
Ответ: 7