ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = -2 \log_7 x$;

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$;

в) $y = -0{,}5 \log_2 x$;

г) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$

Построить график функции:

а) $y = -2 \log_7 x$;
Построим график функции $y = \log_7 x$;
Отразим его относительно оси абсцисс;
Растянем его в 2 раза от оси абсцисс:

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{6}} x$;
Отразим его относительно оси абсцисс;
Растянем его в 4 раза от оси абсцисс:

в) $y = -0{,}5 \log_2 x$;
Построим график функции $y = \log_2 x$;
Отразим его относительно оси абсцисс;
Сожмем его в 2 раза к оси абсцисс:

г) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$;
Отразим его относительно оси абсцисс:

а) $y = -2 \log_7 x$

Шаг 1. Базовая функция

Рассмотрим $y = \log_7 x$:

• Основание логарифма: $7 > 1$
• Значит, функция монотонно возрастает
• Область определения: $x > 0$
• Вертикальная асимптота: $x = 0$
• Точка: $(1,\ 0)$, потому что $\log_7 1 = 0$
• Например: $\log_7 7 = 1$ ⇒ $(7,\ 1)$

Шаг 2. Отражение относительно оси абсцисс

• При умножении функции на $-1$, график отражается относительно оси $x$
• График теперь убывает, хотя исходный логарифм возрастал

Шаг 3. Умножение на 2

• Умножение на 2 означает растяжение графика в 2 раза по вертикали
• Все значения $y$ увеличиваются по модулю

Шаг 4. Полученные точки

• $(1,\ 0)$ остаётся
• $(7,\ 1) \to (7,\ -2)$
• $(1/7,\ -1) \to (1/7,\ 2)$

Итоговое описание

• График убывает
• Асимптота: $x = 0$
• Получен из $\log_7 x$ отражением по оси $x$ и растяжением в 2 раза

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$

Шаг 1. Базовая функция

Рассмотрим $y = \log_{\frac{1}{6}} x$

• Основание $\frac{1}{6} < 1$
• Значит, функция убывает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• Точка: $(1,\ 0)$
• $\log_{1/6} 6 = -1$ ⇒ $(6,\ -1)$

Шаг 2. Отражение относительно оси $x$

• График становится возрастающим

Шаг 3. Умножение на 4

• Растяжение по вертикали в 4 раза

Шаг 4. Полученные точки

• $(1,\ 0) \to (1,\ 0)$
• $(6,\ -1) \to (6,\ 4)$
• $(1/6,\ 1) \to (1/6,\ -4)$

Итоговое описание

• График возрастает
• Асимптота: $x = 0$
• Получен отражением и вертикальным растяжением в 4 раза

в) $y = -0{,}5 \log_2 x$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_2 x$:

• Основание $2 > 1$
• Функция возрастает
• Асимптота: $x = 0$
• $\log_2 2 = 1$ ⇒ $(2,\ 1)$

Шаг 2. Отражение по оси $x$

• Получаем убывающую функцию

Шаг 3. Умножение на $0{,}5$

• Сжатие по вертикали в 2 раза

Шаг 4. Точки

• $(1,\ 0) \to (1,\ 0)$
• $(2,\ 1) \to (2,\ -0{,}5)$
• $(1/2,\ -1) \to (1/2,\ 0{,}5)$

Итоговое описание

• График убывает, слегка наклонён
• Асимптота: $x = 0$
• Получен отражением и сжатием по вертикали в 2 раза

г) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$

Шаг 1. Базовая функция

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$:

• Основание $\frac{1}{3} < 1$ ⇒ убывает
• Область определения: $x > 0$
• Асимптота: $x = 0$
• $\log_{1/3} 1 = 0$, точка $(1,\ 0)$
• $\log_{1/3} 3 = -1$ ⇒ $(3,\ -1)$

Шаг 2. Отражение по оси $x$

• График становится возрастающим

Шаг 3. Умножение на $-1$

• Нет растяжения/сжатия — только отражение

Шаг 4. Точки

• $(1,\ 0) \to (1,\ 0)$
• $(3,\ -1) \to (3,\ 1)$
• $(1/3,\ 1) \to (1/3,\ -1)$

Итоговое описание

• График возрастает
• Получен из $\log_{1/3} x$ отражением относительно оси абсцисс
• Асимптота: $x=0$