ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x$;

б) $y = -22 \log_7 x$;

в) $y = -\log_{\frac{1}{10}} x$;

г) $y = 12 \log_{\frac{2}{3}} x$

Найти область значений функции:

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = -22 \log_7 x$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = -\log_{\frac{1}{10}} x$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = 12 \log_{\frac{2}{3}} x$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x$

Это логарифмическая функция, основание логарифма:
$\sqrt{3} = 3^{1/2} > 1$, то есть основание больше 1.

Область определения логарифмической функции:
Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным.
Значит:
$x > 0$

Область значений логарифмической функции при $a > 1$:
Функция $y = \log_a x$, где $a > 1$, возрастает на интервале $(0; +\infty)$,
и её значения лежат на всём множестве действительных чисел.
То есть:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$

Вывод:
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$

б) $y = -22 \log_7 x$

Основание логарифма:
$7 > 1$, то есть логарифм с положительным основанием больше 1.

Логарифм определён при положительном аргументе:
$x > 0$

Исследуем область значений:
$y = -22 \cdot \log_7 x$
Здесь используется преобразование логарифма умножением на отрицательное число.
Это меняет направление монотонности:

• логарифм $\log_7 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
• умножение на $-22$ делает функцию убывающей.

Однако логарифм $\log_7 x$ по-прежнему принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$,
значит и выражение $-22 \log_7 x$ также принимает любые действительные значения.

Вывод:
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$

в) $y = -\log_{\frac{1}{10}} x$

Основание логарифма:
$\frac{1}{10} = 0{,}1$, то есть $0 < a < 1$

Логарифм определён при $x > 0$

Функция $\log_a x$, где $0 < a < 1$, убывает на $(0; +\infty)$,
но всё равно принимает значения от $-\infty$ до $+\infty$

При умножении на $-1$ получаем возрастающую функцию,
но это не ограничивает множество значений.

Вывод:
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$

г) $y = 12 \log_{\frac{2}{3}} x$

Основание логарифма:
$\frac{2}{3} \in (0; 1)$, то есть логарифм с основанием между 0 и 1.

Условие определения логарифма:
$x > 0$

$\log_{\frac{2}{3}} x$ — функция убывающая на $(0; +\infty)$,
но принимает значения на всём $\mathbb{R}$

Умножение на $12$ не ограничивает область значений,
поскольку любое число умножается на все $\mathbb{R}$

Вывод:
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ:
$E(y) = (-\infty; +\infty)$