ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\log_3 x = 4 — x$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$;

в) $\log_5 x = 6 — x$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$

Решить уравнение:

а) $\log_3 x = 4 — x$;

Функция $f(x) = \log_3 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = 4 — x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:
$f(3) = \log_3 3 = 1$;
$g(3) = 4 — 3 = 1$;
Ответ: 3.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$;

Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = x + \frac{1}{2}$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$;
$g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\log_5 x = 6 — x$;

Функция $f(x) = \log_5 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = 6 — x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:
$f(5) = \log_5 5 = 1$;
$g(5) = 6 — 5 = 1$;
Ответ: 5.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$;

Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ убывает на $(0; +\infty)$;
Функция $g(x) = x + \frac{2}{3}$ возрастает на $(0; +\infty)$;
Методом перебора найдём пересечение:
$f\left(\frac{1}{3}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$;
$g\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$;
Ответ: $\frac{1}{3}$.

а) Уравнение:

$$\log_3 x = 4 — x$$

Шаг 1: Область определения (ОДЗ)

• Логарифм определён, если подлогарифмическое выражение положительно:

  $$x > 0$$

Шаг 2: Анализ левой части: $f(x) = \log_3 x$

• Основание логарифма: $3 > 1$ → функция возрастает на $(0; +\infty)$
• При $x \to 0^+$, $\log_3 x \to -\infty$
• При $x \to +\infty$, $\log_3 x \to +\infty$

Шаг 3: Анализ правой части: $g(x) = 4 — x$

• Это линейная функция с коэффициентом $-1$ → убывает
• При $x \to 0^+$, $g(x) \to 4$
• При $x \to +\infty$, $g(x) \to -\infty$

Шаг 4: Графический смысл уравнения

• $f(x)$ и $g(x)$ — одна возрастает, другая убывает
• Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня

Шаг 5: Подбор значения

Пробуем $x = 3$:

• $f(3) = \log_3 3 = 1$
• $g(3) = 4 — 3 = 1$

Обе части равны — это решение.

Шаг 6: Проверка принадлежности ОДЗ

$x = 3 > 0$ → подходит

Ответ:

$$\boxed{3}$$

б) Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$$

Шаг 1: ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2: $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$

• Основание $\frac{1}{2} \in (0;1)$ → функция убывает
• При $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$
• При $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$

Шаг 3: $g(x) = x + \frac{1}{2}$

• Линейная функция, возрастает
• При $x \to 0^+$, $g(x) \to \frac{1}{2}$
• При $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$

Шаг 4: Один убывает, другой возрастает → максимум один корень

Шаг 5: Подбор значения

Пробуем $x = \frac{1}{2}$:

• $f\left( \frac{1}{2} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right) = 1$
• $g\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Равенство выполнено → решение найдено

Шаг 6: Проверка ОДЗ

$$x = \frac{1}{2} > 0$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

в) Уравнение:

$$\log_5 x = 6 — x$$

Шаг 1: ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2: $f(x) = \log_5 x$

• Основание $5 > 1$ → функция возрастает
• $f(x) \to -\infty$ при $x \to 0^+$,
  $f(x) \to +\infty$ при $x \to +\infty$

Шаг 3: $g(x) = 6 — x$

• Линейная функция, убывает
• $g(x) \to 6$ при $x \to 0^+$,
  $g(x) \to -\infty$ при $x \to +\infty$

Шаг 4: Одна функция убывает, другая возрастает → максимум один корень

Шаг 5: Подбор значения

Пробуем $x = 5$:

• $f(5) = \log_5 5 = 1$
• $g(5) = 6 — 5 = 1$

Обе части равны — решение найдено

Шаг 6: Проверка ОДЗ

$$x = 5 > 0$$

Ответ:

$$\boxed{5}$$

г) Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$$

Шаг 1: ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2: $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$

• Основание $\frac{1}{3} \in (0;1)$ → функция убывает
• При $x \to 0^+$, $f(x) \to +\infty$
• При $x \to +\infty$, $f(x) \to -\infty$

Шаг 3: $g(x) = x + \frac{2}{3}$

• Линейная функция, возрастает
• При $x \to 0^+$, $g(x) \to \frac{2}{3}$
• При $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$

Шаг 4: Убывающая и возрастающая функции → максимум один корень

Шаг 5: Подбор значения

Пробуем $x = \frac{1}{3}$:

• $f\left( \frac{1}{3} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right) = 1$
• $g\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$

Обе части равны → решение найдено

Шаг 6: Проверка ОДЗ

$$x=\frac{1}{3}>0$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{3}}$$