ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x + 2 = \log_8 x$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2x — 5$;

в) $3x + 7 = \log_7 x$;

г) $\log_{\frac{2}{5}} x = -5x — 6$

Решить графически уравнение:

а) $x + 2 = \log_8 x$;
$y = \log_8 x$ — логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 8 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = x + 2$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: нет корней.

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2x — 5$;
$y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 & 9 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

$y = -2x — 5$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 0 \\ \hline y & -1 & -5 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: нет корней.

в) $3x + 7 = \log_7 x$;
$y = \log_7 x$ — логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 7 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = 3x + 7$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 \\ \hline y & 1 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: нет корней.

г) $\log_{\frac{2}{5}} x = -5x — 6$;
$y = \log_{\frac{2}{5}} x$ — логарифмическая функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2{,}5 & 6{,}25 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$$

$y = -5x — 6$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 \\ \hline y & -1 & -6 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: нет корней.

а) Уравнение:

$$x + 2 = \log_8 x$$

Шаг 1: Область определения

• В уравнении присутствует логарифм $\log_8 x$, он определён только при:

  $$x > 0$$

• Прямая $y = x + 2$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$, но областью определения уравнения остаётся:

  $$\text{ОДЗ: } x \in (0; +\infty)$$

Шаг 2: Построение графика $y = \log_8 x$

• Основание логарифма $8 > 1$ ⇒ функция возрастает на $(0; +\infty)$
• Характерные точки:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & \log_8 x \\ \hline 1 & \log_8 1 = 0 \\ 8 & \log_8 8 = 1 \\ \hline \end{array}$$

• Поведение:
  • $x \to 0^+ \Rightarrow y \to -\infty$
  • $x \to +\infty \Rightarrow y \to +\infty$, но очень медленно

Шаг 3: Построение графика $y = x + 2$

• Линейная функция, возрастает с угловым коэффициентом $1$
• Точки:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 0 & 2 \\ 2 & 4 \\ \hline \end{array}$$

• Прямая стремительно возрастает

Шаг 4: Графический анализ

• Сравним значения:
  • При $x = 1$:
    • $y = \log_8 1 = 0$
    • $y = 1 + 2 = 3$
  • При $x = 8$:
    • $y = \log_8 8 = 1$
    • $y = 8 + 2 = 10$

→ Во всех точках значение $y = x + 2$ значительно выше, чем $\log_8 x$

Шаг 5: Вывод

• Логарифмическая кривая идёт ниже прямой на всём допустимом интервале
• Прямые не пересекаются
• Уравнение не имеет решений

Ответ:

$$\boxed{\text{нет корней}}$$

б) Уравнение:

$$\log_{\frac{1}{3}} x = -2x — 5$$

Шаг 1: ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2: График $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

• Основание $\frac{1}{3} \in (0; 1)$ ⇒ логарифмическая функция убывает
• Характерные значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & \log_{\frac{1}{3}} x \\ \hline 1 & 0 \\ 3 & -1 \\ 9 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: График $y = -2x — 5$

• Линейная функция, убывает с угловым коэффициентом $-2$
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -2 & -1 \\ 0 & -5 \\ \hline \end{array}$$

• Но на ОДЗ: $x > 0$, можно проверить:
  • $x = 1 \Rightarrow y = -2 \cdot 1 — 5 = -7$
  • $x = 3 \Rightarrow y = -11$

Шаг 4: Сравнение значений

• При $x = 1$:
  • $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
  • $-2(1) — 5 = -7$
• При $x = 3$:
  • $\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$
  • $-2(3) — 5 = -11$

→ Логарифм выше прямой на всём $x > 0$

Шаг 5: Вывод

• Функции убывают, но логарифм убывает медленно, а прямая — быстро
• Графики не пересекаются

Ответ:

$$\boxed{\text{нет корней}}$$

в) Уравнение:

$$3x + 7 = \log_7 x$$

Шаг 1: ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2: График $y = \log_7 x$

• Основание $7 > 1$ ⇒ логарифмическая функция возрастает
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & \log_7 x \\ \hline 1 & 0 \\ 7 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: График $y = 3x + 7$

• Прямая с крутым наклоном
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -2 & 1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 7 \\ \hline \end{array}$$

• Но нас интересует только $x > 0$:
  • $x = 1 \Rightarrow y = 3 + 7 = 10$
  • $x = 7 \Rightarrow y = 21 + 7 = 28$

Шаг 4: Сравнение значений

• $\log_7 1 = 0$, $3 \cdot 1 + 7 = 10$
• $\log_7 7 = 1$, $3 \cdot 7 + 7 = 28$

→ Прямая всегда выше логарифма

Шаг 5: Вывод

• Прямая и логарифм не пересекаются на допустимом интервале

Ответ:

$$\boxed{\text{нет корней}}$$

г) Уравнение:

$$\log_{\frac{2}{5}} x = -5x — 6$$

Шаг 1: ОДЗ

$$x > 0$$

Шаг 2: График $y = \log_{\frac{2}{5}} x$

• Основание $\frac{2}{5} \in (0;1)$ ⇒ функция убывает
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \log_{\frac{2}{5}} x \\ \hline 1 & 0 \\ 2.5 & -1 \\ 6.25 & -2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: График $y = -5x — 6$

• Линейная функция, убывает резко
• Значения:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline -1 & -1 \\ 0 & -6 \\ \hline \end{array}$$

• Проверим при $x > 0$:
  • $x = 1 \Rightarrow y = -5 — 6 = -11$
  • $x = 2.5 \Rightarrow y = -18.5$

Шаг 4: Сравнение значений

• При $x = 1$:
  • Логарифм: $0$
  • Прямая: $-11$
• При $x = 2.5$:
  • Логарифм: $-1$
  • Прямая: $-18.5$

→ Логарифм выше прямой на всём $x > 0$

Шаг 5: Вывод

• Функции убывают, но прямая убывает быстрее
• Нет точек пересечения

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{нет корней}}}$$