ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\log_6 x \geq 2$;

б) $\log_{0{,}1} x > 3$;

в) $\log_9 x \leq \frac{1}{2}$;

г) $\log_{\frac{4}{5}} x < 3$

а) $\log_6 x \geq 2$;
$x \geq 6^2$;
$x \geq 36$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in [36; +\infty)$.

б) $\log_{0{,}1} x > 3$;
$x < 0{,}1^3$;
$x < 0{,}001$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in (0; 0{,}001)$.

в) $\log_9 x \leq \frac{1}{2}$;
$x \leq 9^{\frac{1}{2}}$;
$x \leq 3$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in (0; 3]$.

г) $\log_{\frac{4}{5}} x < 3$;
$x > \left( \frac{4}{5} \right)^3$;
$x > \frac{64}{125}$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in \left( \frac{64}{125}; +\infty \right)$.

а) Решить неравенство:

$$\log_6 x \geq 2$$

Шаг 1. Уточняем область определения:
Логарифм определён только при положительном аргументе:

$$x > 0$$

Шаг 2. Перепишем логарифмическое неравенство в показательной форме.
Так как основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция возрастает, знак неравенства сохраняется:

$$x \geq 6^2$$

Шаг 3. Возводим 6 в степень 2:

$$x \geq 36$$

Шаг 4. Учитываем область определения $x > 0$ и итоговое неравенство.
Окончательно:

$$x \in [36; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in [36; +\infty)$$

б) Решить неравенство:

$$\log_{0{,}1} x > 3$$

Шаг 1. Область определения:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание логарифма $0{,}1 \in (0; 1)$, логарифмическая функция убывает ⇒ знак неравенства меняется при переходе к показательной форме:

$$x < 0{,}1^3$$

Шаг 3. Возводим десятичную дробь в степень:

$$x < 0{,}001$$

Шаг 4. Учитываем область определения:

$$x \in (0; 0{,}001)$$

Ответ:

$$x \in (0; 0{,}001)$$

в) Решить неравенство:

$$\log_9 x \leq \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Область определения:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание логарифма $9 > 1$ ⇒ функция возрастает ⇒ знак сохраняется при переходе к показательной форме:

$$x \leq 9^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 3. Возводим 9 в степень $\frac{1}{2}$:

$$x \leq 3$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ и полученное неравенство:

$$x \in (0; 3]$$

Ответ:

$$x \in (0; 3]$$

г) Решить неравенство:

$$\log_{\frac{4}{5}} x < 3$$

Шаг 1. Область определения:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание логарифма $\frac{4}{5} \in (0; 1)$ ⇒ логарифмическая функция убывает ⇒ меняем знак при переходе к показательной форме:

$$x > \left( \frac{4}{5} \right)^3$$

Шаг 3. Возводим дробь в куб:

$$x > \frac{64}{125}$$

Шаг 4. Учитываем область определения:

$$x \in \left( \frac{64}{125}; +\infty \right)$$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{64}{125}; +\infty \right)$$