ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_9 x \leq -1$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x < -4$;

в) $\log_5 x \geq -2$;

г) $\log_{0{,}2} x > -3$

а) $\log_9 x \leq -1$;
$x \leq 9^{-1}$;
$x \leq \frac{1}{9}$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{9}\right]$.

б) $\log_{\frac{1}{3}} x < -4$;
$x > \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$;
$x > 81$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in (81; +\infty)$.

в) $\log_5 x \geq -2$;
$x \geq 5^{-2}$;
$x \geq \frac{1}{25}$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in \left[\frac{1}{25}; +\infty\right)$.

г) $\log_{0{,}2} x > -3$;
$x < 0{,}2^{-3}$;
$x < 5^3$;
$x < 125$;
Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;
Ответ: $x \in (0; 125)$.

а) Решить неравенство:

$$\log_9 x \leq -1$$

Шаг 1. Определим область определения логарифма:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание логарифма $9 > 1$, функция возрастает.
Значит, при переходе к показательной форме знак сохраняется:

$$x \leq 9^{-1}$$

Шаг 3. Вычисляем степень:

$$x \leq \frac{1}{9}$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ $x > 0$ и полученное условие $x \leq \frac{1}{9}$:

$$x \in \left(0; \frac{1}{9}\right]$$

Ответ:

$$x \in \left(0; \frac{1}{9}\right]$$

б) Решить неравенство:

$$\log_{\frac{1}{3}} x < -4$$

Шаг 1. ОДЗ:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание логарифма $\frac{1}{3} \in (0; 1)$ ⇒ функция убывает, при переходе к показательной форме меняем знак неравенства:

$$x > \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$$

Шаг 3. Вычисляем степень:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = \left(3^1\right)^4 = 3^4 = 81$$ $$x > 81$$

Шаг 4. Окончательно с учётом ОДЗ:

$$x \in (81; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in (81; +\infty)$$

в) Решить неравенство:

$$\log_5 x \geq -2$$

Шаг 1. ОДЗ:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание $5 > 1$, функция возрастает, знак сохраняется:

$$x \geq 5^{-2}$$

Шаг 3. Вычисляем степень:

$$5^{-2} = \frac{1}{25}$$

Шаг 4. Учитывая ОДЗ:

$$x \in \left[\frac{1}{25}; +\infty\right)$$

Ответ:

$$x \in \left[\frac{1}{25}; +\infty\right)$$

г) Решить неравенство:

$$\log_{0{,}2} x > -3$$

Шаг 1. ОДЗ:

$$x > 0$$

Шаг 2. Основание $0{,}2 \in (0; 1)$, функция убывает, значит при переходе к показательной форме меняем знак неравенства:

$$x < 0{,}2^{-3}$$

Шаг 3. Преобразуем:

$$0{,}2 = \frac{1}{5},\quad \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$$ $$x < 125$$

Шаг 4. С учётом ОДЗ:

$$x \in (0; 125)$$

Ответ:

$$x \in (0; 125)$$