ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции:

а) $y = \log_2 x$, $y = -x + 1$;

б) $y = \log_{0.5} x$, $y = x — 1$;

в) $y = \log_{\frac{1}{7}} x$, $y = 7x$;

г) $y = \log_3 x$, $y = -3x$

При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции:

а) $y = \log_2 x$, $y = -x + 1$;

Функция $y = \log_2 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;

Функция $y = -x + 1$ убывает на $(0; +\infty)$;

Методом перебора найдём пересечение:

$$y_1(1) = \log_2 1 = 0; \quad y_2(1) = -1 + 1 = 0;$$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) $y = \log_{0.5} x$, $y = x — 1$;

Функция $y = \log_{0.5} x$ убывает на $(0; +\infty)$;

Функция $y = x — 1$ возрастает на $(0; +\infty)$;

Методом перебора найдём пересечение:

$$y_1(1) = \log_{0.5} 1 = 0; \quad y_2(1) = 1 — 1 = 0;$$

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в) $y = \log_{\frac{1}{7}} x$, $y = 7x$;

Функция $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ убывает на $(0; +\infty)$;

Функция $y = 7x$ возрастает на $(0; +\infty)$;

Методом перебора найдём пересечение:

$$y_1\left(\frac{1}{7}\right) = \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1; \quad y_2\left(\frac{1}{7}\right) = 7 \cdot \frac{1}{7} = 1;$$

Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{7}\right)$.

г) $y = \log_3 x$, $y = -3x$;

Функция $y = \log_3 x$ возрастает на $(0; +\infty)$;

Функция $y = -3x$ убывает на $(0; +\infty)$;

Методом перебора найдём пересечение:

$$y_1\left(\frac{1}{3}\right) = \log_3 \frac{1}{3} = -1; \quad y_2\left(\frac{1}{3}\right) = -3 \cdot \frac{1}{3} = -1;$$

Ответ: $x \in \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$.

а)

Дано:
$y = \log_2 x$, $y = -x + 1$

Шаг 1. Область определения

Функция $\log_2 x$ определена только при $x > 0$.
Следовательно, рассматриваем $x \in (0; +\infty)$.

Шаг 2. Поведение функций

Функция $y = \log_2 x$ — возрастает на $(0; +\infty)$, так как основание логарифма больше 1.
Функция $y = -x + 1$ — убывает на всей числовой прямой.

Шаг 3. Поиск точки пересечения

Подставим $x = 1$:
$\log_2 1 = 0$
$-1 + 1 = 0$
Графики пересекаются в точке $x = 1$.

Шаг 4. Сравнение значений

Если $x < 1$, то $\log_2 x < -x + 1$
Если $x > 1$, то $\log_2 x > -x + 1$

Шаг 5. Условие задачи

Нужно найти, при каких значениях аргумента логарифм лежит выше линейной функции.
То есть $\log_2 x > -x + 1$
Это выполняется при $x \in (1; +\infty)$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

б)

Дано:
$y = \log_{0.5} x$, $y = x — 1$

Шаг 1. Область определения

Логарифм определён при $x > 0$
Значит $x \in (0; +\infty)$

Шаг 2. Поведение функций

Функция $y = \log_{0.5} x$ убывает на $(0; +\infty)$, потому что основание логарифма $0.5 < 1$
Функция $y = x — 1$ возрастает на всей числовой прямой

Шаг 3. Поиск точки пересечения

Подставим $x = 1$:
$\log_{0.5} 1 = 0$
$1 — 1 = 0$
Пересекаются при $x = 1$

Шаг 4. Сравнение значений

Если $x < 1$, то $\log_{0.5} x > x — 1$
Если $x > 1$, то $\log_{0.5} x < x — 1$

Шаг 5. Требуется найти, где логарифм выше линейной функции

То есть $\log_{0.5} x > x — 1$, а это при $x \in (0; 1)$

Ответ: $x \in (0; 1)$

в)

Дано:
$y = \log_{\frac{1}{7}} x$, $y = 7x$

Шаг 1. Область определения

$x > 0$

Шаг 2. Поведение функций

Функция $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ убывает на $(0; +\infty)$, так как основание меньше 1
Функция $y = 7x$ возрастает на всей числовой прямой

Шаг 3. Поиск точки пересечения

Подставим $x = \frac{1}{7}$:
$\log_{\frac{1}{7}} \left( \frac{1}{7} \right) = 1$
$7 \cdot \frac{1}{7} = 1$
Пересекаются при $x = \frac{1}{7}$

Шаг 4. Сравнение значений

Если $x < \frac{1}{7}$, то логарифм больше
Если $x > \frac{1}{7}$, то логарифм меньше

Шаг 5. Нужно, чтобы логарифм был выше линейной функции

То есть $\log_{\frac{1}{7}} x > 7x$
Это при $x \in (0; \frac{1}{7})$

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{7})$

г)

Дано:
$y = \log_3 x$, $y = -3x$

Шаг 1. Область определения

$x > 0$

Шаг 2. Поведение функций

Функция $y = \log_3 x$ возрастает
Функция $y = -3x$ убывает

Шаг 3. Поиск точки пересечения

Подставим $x = \frac{1}{3}$:
$\log_3 \left( \frac{1}{3} \right) = -1$
$-3 \cdot \frac{1}{3} = -1$
Пересекаются при $x = \frac{1}{3}$

Шаг 4. Сравнение

Если $x < \frac{1}{3}$, то логарифм ниже
Если $x > \frac{1}{3}$, то логарифм выше

Шаг 5. Нужно: логарифм выше линейной функции

Это при $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$

Итоговые ответы:

а) $x \in (1; +\infty)$
б) $x \in (0; 1)$
в) $x \in (0; \frac{1}{7})$
г) $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$