ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) $\log_4 7$ и $\log_4 23$;

б) $\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 1$;

в) $\log_9 \sqrt{15}$ и $\log_9 13$;

г) $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$

Сравнить числа:

а) $\log_4 7$ и $\log_4 23$;
Основание логарифма больше единицы:
$4 > 1$;
Функция возрастает:
$7 < 23$;
Ответ: $\log_4 7 < \log_4 23$.

б) $\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 1$;
Основание логарифма меньше единицы:
$\frac{2}{3} < 1$;
Функция убывает:
$0{,}8 < 1$;
Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

в) $\log_9 \sqrt{15}$ и $\log_9 13$;
Основание логарифма больше единицы:
$9 > 1$;
Функция возрастает:
$\sqrt{15} < 13$;
Ответ: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

г) $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$;
Основание логарифма меньше единицы:
$\frac{1}{12} < 1$;
Функция убывает:
$\frac{1}{7} < \frac{2}{3}$;
$\frac{1}{7} — \frac{2}{3} = \frac{3 — 14}{21} = -\frac{11}{21} < 0$;
$\frac{1}{7} < \frac{2}{3}$;
Ответ: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

а) Сравнить:

$$\log_4 7 \quad \text{и} \quad \log_4 23$$

Шаг 1. Определим основание логарифма:
Основание $4 > 1$, следовательно:

• Функция $y = \log_4 x$ монотонно возрастает.

Шаг 2. Сравним аргументы логарифмов:

$$7 < 23$$

Шаг 3. Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение логарифма:

$$\log_4 7 < \log_4 23$$

Ответ:

$$\log_4 7 < \log_4 23$$

б) Сравнить:

$$\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8 \quad \text{и} \quad \log_{\frac{2}{3}} 1$$

Шаг 1. Определим основание логарифма:

$$\frac{2}{3} < 1 \quad \text{и} \quad \frac{2}{3} > 0$$

Значит, основание допустимо, и:

• Функция $y = \log_{2/3} x$ монотонно убывает.

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$0{,}8 < 1$$

Шаг 3. Так как функция убывает, меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма:

$$\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$$

Дополнительно:

$$\log_{\frac{2}{3}} 1 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{2}{3}} 0{,}8 > 0$$

Ответ:

$$\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$$

в) Сравнить:

$$\log_9 \sqrt{15} \quad \text{и} \quad \log_9 13$$

Шаг 1. Основание логарифма:

$$9 > 1 \Rightarrow \text{функция возрастает}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$\sqrt{15} \approx 3{,}87, \quad 13 > 3{,}87 \Rightarrow \sqrt{15} < 13$$

Шаг 3. Так как функция возрастает, меньшему аргументу соответствует меньшее значение:

$$\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$$

Ответ:

$$\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$$

г) Сравнить:

$$\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} \quad \text{и} \quad \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$$

Шаг 1. Основание логарифма:

$$\frac{1}{12} < 1 \quad \text{и} \quad \frac{1}{12} > 0 \Rightarrow \text{функция убывает}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$\frac{1}{7} \quad \text{и} \quad \frac{2}{3}$$

Найдём разность:

$$\frac{1}{7} — \frac{2}{3} = \frac{3 — 14}{21} = \frac{-11}{21} < 0 \Rightarrow \frac{1}{7} < \frac{2}{3}$$

Шаг 3. Функция убывает, поэтому меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма:

$$\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$$