ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните с единицей число:

а) $\log_3 41$;

б) $\log_{2{,}3} 0{,}1$;

в) $\log_{1/7} 2{,}6$;

г) $\log_{\sqrt{7}} 0{,}4$

Сравнить с единицей число:

а) $\log_3 41$;
Основание логарифма больше единицы:
$3 > 1$;
Функция возрастает:
$41 > 3$;
$\log_3 41 > \log_3 3$;
Ответ: $\log_3 41 > 1$.

б) $\log_{2{,}3} 0{,}1$;
Основание логарифма больше единицы:
$2{,}3 > 1$;
Функция возрастает:
$0{,}1 < 2{,}3$;
$\log_{2{,}3} 0{,}1 < \log_{2{,}3} 2{,}3$;
Ответ: $\log_{2{,}3} 0{,}1 < 1$.

в) $\log_{1/7} 2{,}6$;
Основание логарифма меньше единицы:
$\frac{1}{7} < 1$;
Функция убывает:
$2{,}6 > \frac{1}{7}$;
$\log_{1/7} 2{,}6 < \log_{1/7} \frac{1}{7}$;
Ответ: $\log_{1/7} 2{,}6 < 1$.

г) $\log_{\sqrt{7}} 0{,}4$;
Основание логарифма больше единицы:
$\sqrt{7} > 1$;
Функция возрастает:
$0{,}4 < \sqrt{7}$;
$\log_{\sqrt{7}} 0{,}4 < \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$;
Ответ: $\log_{\sqrt{7}} 0{,}4 < 1$.

а) $\log_3 41$

Шаг 1. Определим основание логарифма:

$$3 > 1 \Rightarrow \text{логарифмическая функция возрастающая}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$41 > 3$$

Шаг 3. Так как функция возрастает, то:

$$\log_3 41 > \log_3 3$$

Шаг 4. Известно, что:

$$\log_3 3 = 1 \Rightarrow \log_3 41 > 1$$

Ответ:

$$\log_3 41 > 1$$

б) $\log_{2{,}3} 0{,}1$

Шаг 1. Определим основание:

$$2{,}3 > 1 \Rightarrow \text{логарифмическая функция возрастающая}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$0{,}1 < 2{,}3$$

Шаг 3. Так как функция возрастает, меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма:

$$\log_{2{,}3} 0{,}1 < \log_{2{,}3} 2{,}3$$

Шаг 4. По свойству:

$$\log_{2{,}3} 2{,}3 = 1 \Rightarrow \log_{2{,}3} 0{,}1 < 1$$

Ответ:

$$\log_{2{,}3} 0{,}1 < 1$$

в) $\log_{1/7} 2{,}6$

Шаг 1. Основание логарифма:

$$\frac{1}{7} < 1 \quad \text{и} \quad \frac{1}{7} > 0 \Rightarrow \text{логарифмическая функция убывающая}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$2{,}6 > \frac{1}{7}$$

Шаг 3. При убывающей функции большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма:

$$\log_{1/7} 2{,}6 < \log_{1/7} \frac{1}{7}$$

Шаг 4. По свойству:

$$\log_{1/7} \frac{1}{7} = 1 \Rightarrow \log_{1/7} 2{,}6 < 1$$

Ответ:

$$\log_{1/7} 2{,}6 < 1$$

г) $\log_{\sqrt{7}} 0{,}4$

Шаг 1. Основание логарифма:

$$\sqrt{7} > 1 \quad (\text{так как } \sqrt{7} \approx 2{,}645) \Rightarrow \text{логарифмическая функция возрастающая}$$

Шаг 2. Сравним аргументы:

$$0{,}4 < \sqrt{7}$$

Шаг 3. При возрастающей функции меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма:

$$\log_{\sqrt{7}} 0{,}4 < \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$$

Шаг 4. Известно:

$$\log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} = 1 \Rightarrow \log_{\sqrt{7}} 0{,}4 < 1$$

Ответ:

$$\log_{\sqrt{7}} 0{,}4 < 1$$