ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$;

б) $\log_{0{,}5} 3$ и $\sin 3$;

в) $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$;

г) $\lg 0{,}2$ и $\cos 0{,}2$

Сравнить числа:

а) $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$;
Первое число:
$\log_3 4 < \log_3 9$;
$\log_3 4 < 2$;
Второе число:
$\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{8}$;
$\sqrt[3]{9} > 2$;
Ответ: $\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$.

б) $\log_{0{,}5} 3$ и $\sin 3$;
Первое число:
$\log_{0{,}5} 3 < \log_{0{,}5} 2$;
$\log_{0{,}5} 3 < -1$;
Второе число:
$\sin 3 \geq -1$;
Ответ: $\log_{0{,}5} 3 < \sin 3$.

в) $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$;
Первое число:
$\log_2 5 > \log_2 4$;
$\log_2 5 > 2$;
Второе число:
$\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$;
$\sqrt[3]{7} < 2$;
Ответ: $\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$.

г) $\lg 0{,}2$ и $\cos 0{,}2$;
Первое число:
$\lg 0{,}2 < \lg 1$;
$\lg 0{,}2 < 0$;
Второе число:
$0 < 0{,}2 < 0{,}5\pi$;
$\cos 0{,}2 > 0$;
Ответ: $\lg 0{,}2 < \cos 0{,}2$.

а) Сравнить:

$$\log_3 4 \quad \text{и} \quad \sqrt[3]{9}$$

Шаг 1. Оценим логарифм $\log_3 4$:

Известно, что:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

Поскольку $4$ лежит между $3$ и $9$, значит:

$$1 < \log_3 4 < 2$$

Дополнительно:
$\log_3 4 = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx \frac{1{,}386}{1{,}098} \approx 1{,}26$

Шаг 2. Оценим $\sqrt[3]{9}$:

Известно, что:

$\sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt[3]{9} > 2$

Более точно:

$$\sqrt[3]{9} \approx 2{,}08$$

Шаг 3. Сравним:

$$\log_3 4 \approx 1{,}26 < 2{,}08 \approx \sqrt[3]{9}$$

Вывод:

$$\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$$

Ответ:

$$\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$$

б) Сравнить:

$$\log_{0{,}5} 3 \quad \text{и} \quad \sin 3$$

Шаг 1. Исследуем логарифм $\log_{0{,}5} 3$:

Основание $0{,}5 < 1 \Rightarrow$ функция убывает.

Известно:

$\log_{0{,}5} 2 = -1$

$3 > 2 \Rightarrow \log_{0{,}5} 3 < \log_{0{,}5} 2 = -1$

Следовательно:

$$\log_{0{,}5} 3 < -1$$

Более точно:

$$\log_{0{,}5} 3 = \frac{\ln 3}{\ln 0{,}5} \approx \frac{1{,}0986}{-0{,}6931} \approx -1{,}585$$

Шаг 2. Оценим $\sin 3$:

Аргумент $3$ в радианах. Численно:

$\pi \approx 3{,}14$

Значит $3 < \pi$, и $\sin 3$ — значение синуса чуть меньше $\pi$, т.е. синус положительный, но ближе к нулю.

$$\sin 3 \approx 0{,}141$$

Шаг 3. Сравним:

$$\log_{0{,}5} 3 \approx -1{,}585 < \sin 3 \approx 0{,}141$$

Вывод:

$$\log_{0{,}5} 3 < \sin 3$$

Ответ:

$$\log_{0{,}5} 3 < \sin 3$$

в) Сравнить:

$$\log_2 5 \quad \text{и} \quad \sqrt[3]{7}$$

Шаг 1. Оценим $\log_2 5$:

Известно:

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$5 \in (4, 8) \Rightarrow \log_2 5 \in (2, 3)$

Более точно:

$$\log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx \frac{1{,}609}{0{,}693} \approx 2{,}32$$

Шаг 2. Оценим $\sqrt[3]{7}$:

Известно:

$\sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow \sqrt[3]{7} < 2$

$\sqrt[3]{7} \approx 1{,}913$

Шаг 3. Сравним:

$$\log_2 5 \approx 2{,}32 > 1{,}913 \approx \sqrt[3]{7}$$

Вывод:

$$\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$$

Ответ:

$$\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$$

г) Сравнить:

$$\lg 0{,}2 \quad \text{и} \quad \cos 0{,}2$$

Шаг 1. Оценим $\lg 0{,}2$:

Известно:

$\lg 1 = 0$

$0{,}2 < 1 \Rightarrow \lg 0{,}2 < 0$

Более точно:

$$\lg 0{,}2 = \log_{10} 0{,}2 \approx -0{,}699$$

Шаг 2. Оценим $\cos 0{,}2$:

Угол в радианах:

$$0 < 0{,}2 < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos 0{,}2 > 0$$

Более точно:

$$\cos 0{,}2 \approx 0{,}980$$

Шаг 3. Сравним:

$$\lg 0{,}2 \approx -0{,}699 < 0{,}980 \approx \cos 0{,}2$$

Вывод:

$$\lg 0{,}2 < \cos 0{,}2$$

Ответ:

$$\lg 0{,}2 < \cos 0{,}2$$

Итоговые ответы:

а) $\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$

б) $\log_{0{,}5} 3 < \sin 3$

в) $\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$

г) $\lg 0{,}2 < \cos 0{,}2$