ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = \log_{2{,}6} x$;

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$;

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$;

г) $y = \log_{0{,}9} x$

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y = \log_{2{,}6} x$;

Основание логарифма больше единицы:
$2{,}6 > 1$;

Ответ: возрастает на $(0; +\infty)$.

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$;

Основание логарифма меньше единицы:
$\frac{3}{4} < 1$;

Ответ: убывает на $(0; +\infty)$.

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$;

Основание логарифма больше единицы:
$\sqrt{5} > 1$;

Ответ: возрастает на $(0; +\infty)$.

г) $y = \log_{0{,}9} x$;

Основание логарифма меньше единицы:
$0{,}9 < 1$;

Ответ: убывает на $(0; +\infty)$.

а) $y = \log_{2{,}6} x$

Шаг 1. Область определения: логарифм определён только при положительном аргументе, значит $x > 0$, то есть область определения функции — $(0; +\infty)$

Шаг 2. Анализ основания: $2{,}6 > 1$, следовательно основание логарифма больше единицы

Шаг 3. Свойство логарифмической функции: при основании $a > 1$, функция $y = \log_a x$ является строго возрастающей

Шаг 4. Формулировка: так как функция возрастающая, то при увеличении аргумента значение функции также увеличивается, то есть при $x_1 < x_2$ выполняется $\log_{2{,}6} x_1 < \log_{2{,}6} x_2$

Ответ: функция возрастает на $(0; +\infty)$

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$

Шаг 1. Область определения: аргумент логарифма должен быть положительным, значит $x > 0$, область определения — $(0; +\infty)$

Шаг 2. Основание логарифма: $\frac{3}{4} = 0{,}75 < 1$, но при этом $\frac{3}{4} > 0$, значит основание допустимо

Шаг 3. Свойство функции: если $0 < a < 1$, то логарифмическая функция убывает

Шаг 4. Формулировка: убывание функции означает, что при увеличении аргумента значение функции уменьшается, то есть $x_1 < x_2 \Rightarrow \log_{\frac{3}{4}} x_1 > \log_{\frac{3}{4}} x_2$

Ответ: функция убывает на $(0; +\infty)$

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Шаг 1. Область определения: логарифм определён при $x > 0$, значит область определения — $(0; +\infty)$

Шаг 2. Основание логарифма: $\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 1$, следовательно основание больше единицы

Шаг 3. Свойство: при основании $a > 1$ логарифмическая функция возрастает

Шаг 4. Следствие: при $x_1 < x_2$ имеем $\log_{\sqrt{5}} x_1 < \log_{\sqrt{5}} x_2$

Ответ: функция возрастает на $(0; +\infty)$

г) $y = \log_{0{,}9} x$

Шаг 1. Область определения: $x > 0$, значит область определения — $(0; +\infty)$

Шаг 2. Основание: $0{,}9 < 1$, при этом $0{,}9 > 0$, значит основание допустимо

Шаг 3. Свойство: при $0 < a < 1$ логарифмическая функция убывает

Шаг 4. Следствие: при $x_1 < x_2$ выполняется $\log_{0{,}9} x_1 > \log_{0{,}9} x_2$

Ответ: функция убывает на $(0; +\infty)$