ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [a, b]:

а) $y = \log_3 x,\ \left[\dfrac{1}{3}; 9\right]$;

б) $y = \log_{\dfrac{1}{2}} x,\ \left[\dfrac{1}{8}; 16\right]$;

в) $y = \lg x,\ [1; 1000]$;

г) $y = \log_{\dfrac{2}{3}} x,\ \left[\dfrac{8}{27}; \dfrac{81}{16}\right]$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $[a; b]$:

а) $y = \log_3 x,\ \left[\dfrac{1}{3}; 9\right]$;

Функция возрастает:
$3 > 1$;

Значения функции:
$y\left(\dfrac{1}{3}\right) = \log_3 \dfrac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$;
$y(9) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 2$.

б) $y = \log_{\dfrac{1}{2}} x,\ \left[\dfrac{1}{8}; 16\right]$;

Функция убывает:
$\dfrac{1}{2} < 1$;

Значения функции:
$y\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_{\dfrac{1}{2}} \dfrac{1}{8} = \log_{\dfrac{1}{2}} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 3$;
$y(16) = \log_{\dfrac{1}{2}} 16 = \log_{\dfrac{1}{2}} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-4} = -4$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -4$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

в) $y = \lg x,\ [1; 1000]$;

Функция возрастает:
$10 > 1$;

Значения функции:
$y(1) = \lg 1 = \lg 10^0 = 0$;
$y(1000) = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

г) $y = \log_{\dfrac{2}{3}} x,\ \left[\dfrac{8}{27}; \dfrac{81}{16}\right]$;

Функция убывает:
$\dfrac{2}{3} < 1$;

Значения функции:
$y\left(\dfrac{8}{27}\right) = \log_{\dfrac{2}{3}} \dfrac{8}{27} = \log_{\dfrac{2}{3}} \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 3$;
$y\left(\dfrac{81}{16}\right) = \log_{\dfrac{2}{3}} \dfrac{81}{16} = \log_{\dfrac{2}{3}} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4} = -4$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -4$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

а) $y = \log_3 x$, отрезок $\left[\dfrac{1}{3}; 9\right]$

Шаг 1. Область определения:
Функция $y = \log_3 x$ определена при $x > 0$.
Так как весь отрезок $\left[\dfrac{1}{3}; 9\right] \subset (0; +\infty)$, функция определена на всём отрезке.

Шаг 2. Монотонность:
Основание логарифма $3 > 1$, значит функция возрастает на $(0; +\infty)$.

Шаг 3. Значения функции на концах отрезка:

• $y\left(\dfrac{1}{3}\right) = \log_3 \left(\dfrac{1}{3}\right) = \log_3 3^{-1} = -1$
• $y(9) = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

Шаг 4. Вывод:
Наименьшее значение достигается в начале отрезка (при меньшем $x$):
$y_{\text{наим}} = -1$

Наибольшее значение — в конце отрезка:
$y_{\text{наиб}} = 2$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 2$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, отрезок $\left[\dfrac{1}{8}; 16\right]$

Шаг 1. Область определения:
Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ определена при $x > 0$.
Весь отрезок $\left[\dfrac{1}{8}; 16\right] \subset (0; +\infty)$, функция определена на всём отрезке.

Шаг 2. Монотонность:
Основание $\dfrac{1}{2} < 1$, значит функция убывает.

Шаг 3. Значения функции на концах отрезка:

• $y\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_{1/2} \left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_{1/2} (1/2)^3 = 3$
• $y(16) = \log_{1/2} 16 = \log_{1/2} (1/2)^{-4} = -4$

Шаг 4. Вывод:
Поскольку функция убывает, большее значение достигается на левом конце отрезка:
$y_{\text{наиб}} = 3$

Меньшее значение — в правой точке:
$y_{\text{наим}} = -4$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -4$, $y_{\text{наиб}} = 3$

в) $y = \lg x$, отрезок $[1; 1000]$

Шаг 1. Область определения:
Функция десятичного логарифма определена при $x > 0$, отрезок $[1; 1000] \subset (0; +\infty)$

Шаг 2. Монотонность:
Основание десятичного логарифма — 10, оно больше 1, значит функция возрастает.

Шаг 3. Значения функции на концах отрезка:

• $y(1) = \lg 1 = \lg 10^0 = 0$
• $y(1000) = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3$

Шаг 4. Вывод:
Функция возрастает, значит:

• $y_{\text{наим}} = 0$ при $x = 1$
• $y_{\text{наиб}} = 3$ при $x = 1000$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 3$

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x$, отрезок $\left[\dfrac{8}{27}; \dfrac{81}{16}\right]$

Шаг 1. Область определения:
Функция определена при $x > 0$.
Так как обе границы положительные, отрезок лежит в области определения.

Шаг 2. Монотонность:
Основание $\dfrac{2}{3} < 1$, значит функция убывает.

Шаг 3. Значения функции на концах отрезка:

• $y\left(\dfrac{8}{27}\right) = \log_{2/3} \left(\dfrac{8}{27}\right) = \log_{2/3} \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 3$
• $y\left(\dfrac{81}{16}\right) = \log_{2/3} \left(\dfrac{81}{16}\right) = \log_{2/3} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4} = -4$

Шаг 4. Вывод:
Функция убывает, поэтому:

• $y_{\text{наиб}} = 3$ — на левом конце отрезка
• $y_{\text{наим}} = -4$ — на правом конце

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -4$, $y_{\text{наиб}} = 3$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 2$
б) $y_{\text{наим}} = -4$, $y_{\text{наиб}} = 3$
в) $y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 3$
г) $y_{\text{наим}} = -4$, $y_{\text{наиб}} = 3$