ГДЗ 10-11 Класс Номер 42.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите, на каком промежутке функция $y = \log_3 x$ принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2.

б) Найдите, на каком промежутке функция $y = \log_{0.5} x$ принимает наибольшее значение, равное —1, и наименьшее, равное -3.

Найти, на каком промежутке заданная функция принимает заданные наибольшее и наименьшее значения:

а) $y = \log_3 x$, $y_{\text{наиб}} = 4$, $y_{\text{наим}} = -2$;

Функция монотонно возрастает:
$3 > 1$;

Искомый отрезок:
$-2 \leq \log_3 x \leq 4$;
$3^{-2} \leq x \leq 3^4$;
$\dfrac{1}{9} \leq x \leq 81$;

Ответ: $x \in \left[\dfrac{1}{9};\ 81\right]$.

б) $y = \log_{0.5} x$, $y_{\text{наиб}} = -1$, $y_{\text{наим}} = -3$;

Функция монотонно убывает:
$0.5 < 1$;

Искомый отрезок:
$-3 \leq \log_{0.5} x \leq -1$;
$0.5^{-1} \leq x \leq 0.5^{-3}$;
$2^1 \leq x \leq 2^3$;
$2 \leq x \leq 8$;

Ответ: $x \in [2;\ 8]$.

а) $y = \log_3 x$, задано:

• $y_{\text{наиб}} = 4$
• $y_{\text{наим}} = -2$

Шаг 1. Определение характера функции:

Функция $y = \log_3 x$ — логарифмическая с основанием $a = 3$.
Так как $3 > 1$, логарифмическая функция монотонно возрастает на области определения $(0; +\infty)$.
Это значит:
если $x_1 < x_2$, то $\log_3 x_1 < \log_3 x_2$

Шаг 2. Найдём, при каких $x$ значения логарифма равны заданным:

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых:

$$\log_3 x = -2 \quad \text{и} \quad \log_3 x = 4$$

1) Решим уравнение $\log_3 x = -2$:
Это равносильно $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

2) Решим уравнение $\log_3 x = 4$:
Это равносильно $x = 3^4 = 81$

Шаг 3. Переход от условий на $y$ к условиям на $x$:

Так как функция возрастает, промежуток, где значения $y$ лежат между $-2$ и $4$, соответствует $x \in \left[ \dfrac{1}{9};\ 81 \right]$

Ответ:

$$x \in \left[ \dfrac{1}{9};\ 81 \right]$$

б) $y = \log_{0.5} x$, задано:

• $y_{\text{наиб}} = -1$
• $y_{\text{наим}} = -3$

Шаг 1. Характер функции:

Функция $y = \log_{0.5} x$, основание $a = 0.5$.
Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция монотонно убывает на $(0; +\infty)$.
Это значит:
если $x_1 < x_2$, то $\log_{0.5} x_1 > \log_{0.5} x_2$

Шаг 2. Найдём, при каких $x$ функция равна граничным значениям:

1) Решим $\log_{0.5} x = -3$:

$$x = 0.5^{-3} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-3} = 2^3 = 8$$

2) Решим $\log_{0.5} x = -1$:

$$x = 0.5^{-1} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{-1} = 2^1 = 2$$

Шаг 3. Учитываем убывание функции:

Поскольку функция убывает, большему значению $y = -1$ соответствует меньший аргумент $x = 2$,
а меньшему значению $y = -3$ соответствует больший аргумент $x = 8$

Следовательно, весь диапазон значений $y \in [-3; -1]$ соответствует $x \in [2;\ 8]$

Ответ:

$$x \in [2;\ 8]$$

Итоговые ответы:

а) $x \in \left[ \dfrac{1}{9};\ 81 \right]$
б) $x \in [2;\ 8]$