ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что числа $x, a, b$ и $c$ связаны соотношением $$$x = \dfrac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$. Выразите ${\log }_{n}x$ через логарифмы по основанию n чисел а, b, с.

Известно, что числа $x, a, b$ и $c$ связаны соотношением $$$x = \dfrac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$;

$$\log_n x = \log_n \dfrac{a^2 c^3}{\sqrt{b}} = \log_n a^2 + \log_n c^3 — \log_n \sqrt{b};$$ $$\log_n x = 2 \log_n a + 3 \log_n c — \dfrac{1}{2} \log_n b$$

Пусть положительные числа $x, a, b, c$ связаны соотношением:

$$x = \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$$

Нужно выразить $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ от чисел $a, b, c$.

Шаг 1. Запишем выражение для $x$:

$$x = \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$$

Это означает: $x$ равно произведению $a^2$ и $c^3$, делённому на $\sqrt{b}$.

Шаг 2. Применим логарифм по основанию $n$ к обеим частям:

$$\log_n x = \log_n \left( \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}} \right)$$

Теперь упростим это выражение с помощью свойств логарифмов.

Свойства логарифмов, которые будем использовать:

1. $\log_n (AB) = \log_n A + \log_n B$ — логарифм произведения.
2. $\log_n \left( \frac{A}{B} \right) = \log_n A — \log_n B$ — логарифм частного.
3. $\log_n (A^k) = k \log_n A$ — логарифм степени.

Шаг 3. Представим числитель и знаменатель как произведение и степень:

У нас:

$$\log_n \left( \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}} \right)$$

Можно представить это как:

$$\log_n \left( \frac{a^2 \cdot c^3}{b^{1/2}} \right)$$

Потому что $\sqrt{b} = b^{1/2}$

Шаг 4. Применим логарифм к дроби:

$$\log_n \left( \frac{a^2 c^3}{b^{1/2}} \right) = \log_n (a^2 c^3) — \log_n (b^{1/2})$$

Шаг 5. Применим логарифм к произведению в числителе:

$$\log_n (a^2 c^3) = \log_n (a^2) + \log_n (c^3)$$

Шаг 6. Применим логарифм степени:

• $\log_n (a^2) = 2 \log_n a$
• $\log_n (c^3) = 3 \log_n c$
• $\log_n (b^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_n b$

Шаг 7. Соберём всё вместе:

$$\log_n x = \log_n \left( \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}} \right) = \log_n (a^2) + \log_n (c^3) — \log_n (b^{1/2})$$ $$= 2 \log_n a + 3 \log_n c — \frac{1}{2} \log_n b$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle {\log }_{n}x=2{\log }_{n}a+3{\log }_{n}c-\frac{1}{2}{\log }_{n}b}}$$