ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Прологарифмируйте по основанию 2:

а) $x = 16a^2b^3$;

б) $x = \frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$;

в) $x = 48a\sqrt{a} \cdot b^4$;

г) $x = \frac{b^3}{4a^5}$

Прологарифмировать по основанию 2:

а) $x = 16a^2b^3$;
$\log_2 x = \log_2(16a^2b^3) = \log_2 16 + \log_2 a^2 + \log_2 b^3$;
$\log_2 x = \log_2 2^4 + \log_2 a^2 + \log_2 b^3 = 4 + 2\log_2 a + 3\log_2 b$;

б) $x = \frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$;
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1}{8}a(\sqrt{b})^7\right) = \log_2\frac{1}{8} + \log_2 a + \log_2(\sqrt{b})^7$;
$\log_2 x = \log_2 2^{-3} + \log_2 a + \log_2 b^{7/2} = \log_2 a + 3{,}5\log_2 b — 3$;

в) $x = 48a\sqrt{a} \cdot b^4$;
$\log_2 x = \log_2(48a\sqrt{a} \cdot b^4) = \log_2 16 + \log_2 3 + \log_2 a\sqrt{a} + \log_2 b^4$;
$\log_2 x = \log_2 2^4 + \log_2 3 + \log_2 a^{3/2} + \log_2 b^4$;
$\log_2 x = 4 + \log_2 3 + 1{,}5\log_2 a + 4\log_2 b$;

г) $x = \frac{b^3}{4a^5}$;
$\log_2 x = \log_2\frac{b^3}{4a^5} = \log_2 b^3 — (\log_2 4 + \log_2 a^5)$;
$\log_2 x = \log_2 b^3 — \log_2 2^2 — \log_2 a^5 = 3\log_2 b — 2 — 5\log_2 a$

а) $x = 16a^2b^3$

Шаг 1. Применим логарифм к обеим частям уравнения:

$$\log_2 x = \log_2 (16a^2b^3)$$

Шаг 2. Распишем как логарифм произведения:

$$\log_2 x = \log_2 16 + \log_2 a^2 + \log_2 b^3$$

(используем правило: $\log_n(ABC) = \log_n A + \log_n B + \log_n C$)

Шаг 3. Преобразуем каждый логарифм:

• $\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4$
• $\log_2 a^2 = 2 \log_2 a$
• $\log_2 b^3 = 3 \log_2 b$

Итог:

$$\log_2 x = 4 + 2\log_2 a + 3\log_2 b$$

б) $x = \dfrac{1}{8}a(\sqrt{b})^7$

Шаг 1. Применим логарифм:

$$\log_2 x = \log_2 \left( \frac{1}{8} \cdot a \cdot (\sqrt{b})^7 \right)$$

Шаг 2. Распишем как логарифм произведения и частного:

$$\log_2 x = \log_2 \frac{1}{8} + \log_2 a + \log_2 \left( (\sqrt{b})^7 \right)$$

(используем: $\log_n \left( \frac{A}{B} \right) = \log_n A — \log_n B$,
и $\log_n(AB) = \log_n A + \log_n B$)

Шаг 3. Преобразуем каждую часть:

• $\frac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 (2^{-3}) = -3$
• $\log_2 a$ — остается без изменений
• $(\sqrt{b})^7 = (b^{1/2})^7 = b^{7/2} \Rightarrow \log_2 (b^{7/2}) = \frac{7}{2} \log_2 b = 3{,}5 \log_2 b$

Итог:

$$\log_2 x = -3 + \log_2 a + 3{,}5 \log_2 b$$

или в стандартном виде:

$$\log_2 x = \log_2 a + 3{,}5 \log_2 b — 3$$

в) $x = 48a\sqrt{a} \cdot b^4$

Шаг 1. Преобразуем $a\sqrt{a}$:

$$a\sqrt{a} = a \cdot a^{1/2} = a^{1 + 1/2} = a^{3/2}$$

Теперь:

$$x = 48 \cdot a^{3/2} \cdot b^4$$

А $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

Шаг 2. Применим логарифм:

$$\log_2 x = \log_2 (48a\sqrt{a} \cdot b^4)$$

или после преобразования:

$$\log_2 x = \log_2 (2^4 \cdot 3 \cdot a^{3/2} \cdot b^4)$$

Шаг 3. Применим логарифм произведения:

$$\log_2 x = \log_2 2^4 + \log_2 3 + \log_2 a^{3/2} + \log_2 b^4$$

Шаг 4. Раскроем степени:

• $\log_2 2^4 = 4$
• $\log_2 3$ — оставляем как есть (так как 3 не является степенью двойки)
• $\log_2 a^{3/2} = \frac{3}{2} \log_2 a = 1{,}5 \log_2 a$
• $\log_2 b^4 = 4 \log_2 b$

Итог:

$$\log_2 x = 4 + \log_2 3 + 1{,}5 \log_2 a + 4 \log_2 b$$

г) $x = \dfrac{b^3}{4a^5}$

Шаг 1. Применим логарифм:

$$\log_2 x = \log_2 \left( \frac{b^3}{4a^5} \right)$$

Шаг 2. Преобразуем логарифм дроби:

$$\log_2 x = \log_2 b^3 — \log_2 (4a^5)$$

Теперь:

$$\log_2 (4a^5) = \log_2 4 + \log_2 a^5$$

Шаг 3. Раскроем степени:

• $\log_2 b^3 = 3 \log_2 b$
• $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$
• $\log_2 a^5 = 5 \log_2 a$

Итог:

$$\log_2 x = 3 \log_2 b — (2 + 5 \log_2 a) = 3 \log_2 b — 2 — 5 \log_2 a$$