ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Прологарифмируйте по основанию 5:

а) $x = 125a^4 : b^4$;

б) $x = \frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{\frac{1}{2}}}$;

в) $x = \frac{25\sqrt{5}a^6b^7}{c^3}$;

г) $x = \left( \frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}} \right)^{-3}$

Прологарифмировать по основанию 5:

а) $x = 125a^4 : b^4$;
$\log_5 x = \log_5 \frac{125a^4}{b^4} = \log_5 125 + \log_5 a^4 — \log_5 b^4$;
$\log_5 x = \log_5 5^3 + \log_5 a^4 — \log_5 b^4 = 3 + 4\log_5 a — 4\log_5 b$;

б) $x = \frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{\frac{1}{2}}}$;
$\log_5 x = \log_5 \frac{625(\sqrt{a}b)^3}{c^{\frac{1}{2}}} = \log_5 625 + \log_5 (\sqrt{a})^3 + \log_5 b^3 — \log_5 c^{\frac{1}{2}}$;
$\log_5 x = \log_5 5^4 + \log_5 a^{\frac{3}{2}} + \log_5 b^3 — \log_5 c^{\frac{1}{2}}$;
$\log_5 x = 4 + 1{,}5\log_5 a + 3\log_5 b — 0{,}5\log_5 c$;

в) $x = \frac{25\sqrt{5}a^6b^7}{c^3}$;
$\log_5 x = \log_5 \frac{25\sqrt{5}a^6b^7}{c^3} = \log_5 25\sqrt{5} + \log_5 a^6 + \log_5 b^7 — \log_5 c^3$;
$\log_5 x = \log_5 5^{2+\frac{1}{2}} + \log_5 a^6 + \log_5 b^7 — \log_5 c^3$;
$\log_5 x = 2{,}5 + 6\log_5 a + 7\log_5 b — 3\log_5 c$;

г) $x = \left( \frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}} \right)^{-3}$;
$\log_5 x = \log_5 \left( \frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}} \right)^{-3} = \log_5 a^{6(-3)} — \log_5 b^{\frac{2}{3}(-3)}$;
$\log_5 x = \log_5 a^{-18} — \log_5 b^{-2} = 1{,}2\log_5 b — 18\log_5 a$;

Прологарифмировать по основанию 5:

а) $x = 125a^4 : b^4$

Шаг 1. Записываем выражение как дробь:
$x = \dfrac{125a^4}{b^4}$

Шаг 2. Применяем логарифм к обеим частям:
$\log_5 x = \log_5 \left( \dfrac{125a^4}{b^4} \right)$

Шаг 3. Используем свойство логарифма частного:
$\log_5 x = \log_5 125 + \log_5 a^4 — \log_5 b^4$

Шаг 4. Представляем 125 как степень 5:
$125 = 5^3$, значит $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

Шаг 5. Применяем свойство логарифма степени:
$\log_5 a^4 = 4\log_5 a$,
$\log_5 b^4 = 4\log_5 b$

Ответ:
$\log_5 x = 3 + 4\log_5 a — 4\log_5 b$

б) $x = \dfrac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}$

Шаг 1. Преобразуем подкоренное выражение:
$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{1/2}b^{1/2}$

Значит $(\sqrt{ab})^3 = (a^{1/2}b^{1/2})^3 = a^{3/2}b^{3/2}$

Шаг 2. Подставляем в выражение для $x$:
$x = \dfrac{625 \cdot a^{3/2} \cdot b^{3/2}}{c^{1/2}}$

Шаг 3. Применяем логарифм:
$\log_5 x = \log_5 625 + \log_5 a^{3/2} + \log_5 b^{3/2} — \log_5 c^{1/2}$

Шаг 4. Представляем 625 как степень 5:
$625 = 5^4$, значит $\log_5 625 = 4$

Шаг 5. Применяем свойство степени:
$\log_5 a^{3/2} = \dfrac{3}{2} \log_5 a = 1{,}5\log_5 a$
$\log_5 b^{3/2} = \dfrac{3}{2} \log_5 b = 1{,}5\log_5 b$
$\log_5 c^{1/2} = \dfrac{1}{2} \log_5 c = 0{,}5\log_5 c$

Объединяем:
$\log_5 x = 4 + 1{,}5\log_5 a + 1{,}5\log_5 b — 0{,}5\log_5 c$

Складываем логарифмы:
$\log_5 x = 4 + 1{,}5\log_5 a + 3\log_5 b — 0{,}5\log_5 c$

Ответ:
$\log_5 x = 4 + 1{,}5\log_5 a + 3\log_5 b — 0{,}5\log_5 c$

в) $x = \dfrac{25\sqrt{5}a^6b^7}{c^3}$

Шаг 1. Представляем 25 и $\sqrt{5}$ как степени числа 5:
$25 = 5^2$, $\sqrt{5} = 5^{1/2}$
Значит $25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{1/2} = 5^{2{,}5}$

Шаг 2. Подставляем в выражение:
$x = \dfrac{5^{2{,}5} \cdot a^6 \cdot b^7}{c^3}$

Шаг 3. Применяем логарифм:
$\log_5 x = \log_5 5^{2{,}5} + \log_5 a^6 + \log_5 b^7 — \log_5 c^3$

Шаг 4. Применяем логарифм степени:
$\log_5 5^{2{,}5} = 2{,}5$
$\log_5 a^6 = 6\log_5 a$
$\log_5 b^7 = 7\log_5 b$
$\log_5 c^3 = 3\log_5 c$

Ответ:
$\log_5 x = 2{,}5 + 6\log_5 a + 7\log_5 b — 3\log_5 c$

г) $x = \left( \dfrac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}} \right)^{-3}$

Шаг 1. Преобразуем корень в степень:
$\sqrt[3]{b^2} = b^{2/3}$,
значит $\dfrac{a^6}{b^{2/3}}$

Шаг 2. Возводим дробь в степень -3:
$\left( \dfrac{a^6}{b^{2/3}} \right)^{-3} = \dfrac{b^{2/3 \cdot 3}}{a^{6 \cdot 3}} = \dfrac{b^2}{a^{18}}$

Шаг 3. Применяем логарифм:
$\log_5 x = \log_5 \left( \dfrac{b^2}{a^{18}} \right) = \log_5 b^2 — \log_5 a^{18}$

Шаг 4. Применяем логарифм степени:
$\log_5 b^2 = 2\log_5 b$
$\log_5 a^{18} = 18\log_5 a$

Ответ:
$\log_5 x = 2\log_5 b — 18\log_5 a$