ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\log_5 3 = m$ и ${\log }_{5}2=n$. Выразите через m и n:

а) ${\log }_{5}6$

б) ${\log }_{5}18$

в) ${\log }_{5}24$

г) ${\log }_{5}72$

Известно, что $\log_5 3 = m$ и $\log_5 2 = n$;
Выразить через $m$ и $n$:

а) $\log_5 6 = \log_5(3 \cdot 2) = \log_5 3 + \log_5 2 = m + n$;
Ответ: $m + n$.

б) $\log_5 18 = \log_5(9 \cdot 2) = \log_5(3^2 \cdot 2) = 2\log_5 3 + \log_5 2 = 2m + n$;
Ответ: $2m + n$.

в) $\log_5 24 = \log_5(3 \cdot 8) = \log_5(3 \cdot 2^3) = \log_5 3 + 3\log_5 2 = m + 3n$;
Ответ: $m + 3n$.

г) $\log_5 72 = \log_5(9 \cdot 8) = \log_5(3^2 \cdot 2^3) = 2\log_5 3 + 3\log_5 2 = 2m + 3n$;
Ответ: $2m + 3n$.

Известно:

$$\log_5 3 = m, \quad \log_5 2 = n$$

Нужно выразить через $m$ и $n$ логарифмы различных чисел по основанию 5.

а) $\log_5 6$

Шаг 1. Разложим число 6 на простые множители:

$$6 = 2 \cdot 3$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма произведения:

$$\log_5(2 \cdot 3) = \log_5 2 + \log_5 3$$

Шаг 3. Подставим обозначения:

$$\log_5 2 = n, \quad \log_5 3 = m$$

Ответ:

$$\log_5 6 = n + m = m + n$$

б) $\log_5 18$

Шаг 1. Разложим 18:

$$18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма произведения:

$$\log_5(3^2 \cdot 2) = \log_5 3^2 + \log_5 2$$

Шаг 3. Применим логарифм степени:

$$\log_5 3^2 = 2 \log_5 3$$

Шаг 4. Подставим обозначения:

$$\log_5 3 = m, \quad \log_5 2 = n$$

Ответ:

$$\log_5 18 = 2m + n$$

в) $\log_5 24$

Шаг 1. Разложим 24:

$$24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма произведения:

$$\log_5(3 \cdot 2^3) = \log_5 3 + \log_5 2^3$$

Шаг 3. Применим логарифм степени:

$$\log_5 2^3 = 3 \log_5 2$$

Шаг 4. Подставим обозначения:

$$\log_5 3 = m, \quad \log_5 2 = n$$

Ответ:

$$\log_5 24 = m + 3n$$

г) $\log_5 72$

Шаг 1. Разложим 72:

$$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма произведения:

$$\log_5(2^3 \cdot 3^2) = \log_5 2^3 + \log_5 3^2$$

Шаг 3. Применим логарифм степени:

$$\log_5 2^3 = 3 \log_5 2, \quad \log_5 3^2 = 2 \log_5 3$$

Шаг 4. Подставим обозначения:

$$\log_5 2 = n, \quad \log_5 3 = m$$

Ответ:

$$\log_5 72 = 3n + 2m = 2m + 3n$$

Окончательные ответы:

а) $\log_5 6 = m + n$
б) $\log_5 18 = 2m + n$
в) $\log_5 24 = m + 3n$
г) $\log_5 72 = 2m + 3n$