ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$${\log }_4(\sin \frac{\pi }{12})+\frac{1}{3}{\log }_4\left({\sin }^3\frac{13\pi }{6}\right)+{\log }_4(\sin \frac{7\pi }{12})$$

б)

$$\frac{1}{2}{\log }_8{(\cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8})}^2-{\log }_8{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^{-1}$$

Вычислить значение:

а)

$${\log }_4(\sin \frac{\pi }{12})+\frac{1}{3}{\log }_4\left({\sin }^3\frac{13\pi }{6}\right)+{\log }_4(\sin \frac{7\pi }{12})=$$

$$\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\frac{1}{3}\log_4\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right)=$$ $$={\log }_4(\sin \frac{\pi }{12})+{\log }_4(\sin \frac{13\pi }{6})+{\log }_4(\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{12}))=$$

$$=\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\log_4\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{12}\right)\right)=$$ $$={\log }_4(\sin \frac{\pi }{12}\cdot \sin (-2\pi +\frac{13\pi }{6})\cdot \cos (-\frac{\pi }{12}))=$$

$$=\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\cdot\sin\left(-2\pi+\frac{13\pi}{6}\right)\cdot\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)=$$ $$={\log }_4(\sin \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{6})={\log }_4(\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\cdot \sin \frac{\pi }{6})=$$

$$=\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\cdot\cos\frac{\pi}{12}\cdot\sin\frac{\pi}{6}\right)=\log_4\left(\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{6}\cdot\sin\frac{\pi}{6}\right)=$$ $$=\log_4\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\log_4\left(\frac{1}{2}\right)^3=\log_4 2^{-3}=\log_4 4^{-\frac{3}{2}}=-\frac{3}{2}=-1{,}5;$$

Ответ: $-1{,}5$.

б)

$$\frac{1}{2}{\log }_8{(\cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8})}^2-{\log }_8{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^{-1}=$$

$$\frac{1}{2}\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)^2-\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1}=$$ $$={\log }_8(\cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8})+{\log }_8(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})=$$

$$=\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)+\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)=$$ $$={\log }_8\left((\cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8})(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})\right)={\log }_8({\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8})=$$

$$=\log_8\left(\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)\right)=\log_8\left(\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}\right)=$$ $$=\log_8\left(\cos\frac{\pi}{4}\right)=\log_8\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\log_8 2^{-\frac{1}{2}}=\log_8 8^{-\frac{1}{2\cdot3}}=\log_8 8^{-\frac{1}{6}}=-\frac{1}{6};$$

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

а)

$$\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{3}\log_4\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right) + \log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right)$$

Шаг 1. Работа со степенью логарифма

$$\frac{1}{3}\log_4\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right) = \log_4\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right)$$

(используем правило: $\log_b(x^n) = n \log_b x \Rightarrow \frac{1}{3} \log_4(\sin^3 x) = \log_4(\sin x)$)

Шаг 2. Преобразуем аргумент третьего логарифма

$$\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$$

Но в решении используется:

$$\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$$

Это справедливо, потому что:

$$\frac{7\pi}{12} = \pi — \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} \Rightarrow \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$$

Шаг 3. Упростим второй аргумент

$$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \Rightarrow \sin\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

(так как синус — периодическая функция: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$)

Шаг 4. Подставим всё:

$$\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_4\left(\sin\frac{\pi}{6}\right) + \log_4\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)$$

Шаг 5. Преобразуем сумму логарифмов в один:

$$= \log_4\left(\sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \sin\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 6. Используем формулу:

$$2\sin x \cos x = \sin 2x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

При $x = \frac{\pi}{12}$:

$$\sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{6}$$

Значит:

$$\sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12} \cdot \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{6}$$

Шаг 7. Значение:

$$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Значит:

$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$$

Шаг 8. Возвращаемся к логарифму:

$$\log_4\left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right) = \log_4\left( 2^{-3} \right)$$

Шаг 9. Представим основание 4 через 2:

$$2^{-3} = \left( 4^{1/2} \right)^{-3} = 4^{-3/2}$$

Шаг 10. Логарифм степени:

$$\log_4(4^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$$

Ответ:

$$-1{,}5$$

б)

$$\frac{1}{2}{\log }_8{(\cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8})}^2-{\log }_8{(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})}^{-1}$$

Шаг 1. Работа со степенями и коэффициентами:

$$\frac{1}{2} \log_8 (A^2) = \log_8 A$$ $$— \log_8(B^{-1}) = + \log_8 B$$

Получаем:

$$\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8} — \sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_8\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 2. Применим логарифм произведения:

$$= \log_8\left( (\cos\frac{\pi}{8} — \sin\frac{\pi}{8}) (\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}) \right)$$

Шаг 3. Используем формулу разности квадратов:

$$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$$ $$= \log_8\left( \cos^2\frac{\pi}{8} — \sin^2\frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 4. Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

При $x = \frac{\pi}{8} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{4}$

$$= \log_8\left( \cos\frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 5. Значение:

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-1/2}$$

Шаг 6. Преобразуем логарифм:

$$\log_8\left(2^{-1/2}\right) = -\frac{1}{2} \log_8 2$$

Шаг 7. Выразим 2 через основание 8:

$$8 = 2^3 \Rightarrow \log_8 2 = \frac{1}{3}$$

Шаг 8. Подставим:

$$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$$

Ответ:

$$-\frac{1}{6}$$

Итоги:

а) $-1{,}5$
б) $-\frac{1}{6}$