ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{1+0,5{\log }_{\frac{1}{2}}14}$

б) $25^{1-0,5\log_5 11} = \frac{25^1}{25^{0,5\log_5 11}} = \frac{25}{5^{\log_5 11}} = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11};$

в) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{1+\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{3}}18}$

г) ${49}^{1-0,5{\log }_{7}14}$

Вычислить значение:

а) $\left(\frac{1}{4}\right)^{1+0,5\log_{\frac{1}{2}} 14} = \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{0,5\log_{\frac{1}{2}} 14} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 14} = \frac{1}{4} \cdot 14 = 3,5;$
Ответ: 3,5.

б) $25^{1-0,5\log_5 11} = \frac{25^1}{25^{0,5\log_5 11}} = \frac{25}{5^{\log_5 11}} = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11};$
Ответ: $2\frac{3}{11}.$

в) $\left(\frac{1}{9}\right)^{1+\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} 18} = \left(\frac{1}{9}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} 18} = \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 18} = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2;$
Ответ: 2.

г) $49^{1-0,5\log_7 14} = \frac{49^1}{49^{0,5\log_7 14}} = \frac{49}{7^{\log_7 14}} = \frac{49}{14} = 3,5;$
Ответ: 3,5.

а) Вычислить:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{1 + 0{,}5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$$

Шаг 1. Распишем степень суммы как произведение:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{0{,}5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$$

Шаг 2. Упростим первое выражение:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^1 = \frac{1}{4}$$

Шаг 3. Заметим, что $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, значит:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{0{,}5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{0{,}5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$$

Шаг 4. По свойству степеней:

$$\left(a^m\right)^n = a^{mn} \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 0{,}5 \log_{\frac{1}{2}} 14} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 14}$$

Шаг 5. Применим основное логарифмическое тождество:

$$a^{\log_a b} = b \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 14} = 14$$

Шаг 6. Вернёмся к полному выражению:

$$\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{14}{4} = 3{,}5$$

Ответ: 3,5

б) Вычислить:

$$25^{1 — 0{,}5 \log_5 11}$$

Шаг 1. Преобразуем степень разности как частное:

$$\frac{25^1}{25^{0{,}5 \log_5 11}} = \frac{25}{25^{0{,}5 \log_5 11}}$$

Шаг 2. Представим $25 = 5^2$, тогда:

$$25^{0{,}5 \log_5 11} = \left(5^2\right)^{0{,}5 \log_5 11} = 5^{2 \cdot 0{,}5 \log_5 11} = 5^{\log_5 11}$$

Шаг 3. Применим тождество:

$$5^{\log_5 11} = 11$$

Шаг 4. Подставим в исходное выражение:

$$\frac{25}{11}$$

Шаг 5. Переведём в смешанную дробь:

$$\frac{25}{11} = 2 \frac{3}{11}$$

Ответ: $$$2 \frac{3}{11}$

в) Вычислить:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$$

Шаг 1. Представим как произведение:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$$

Шаг 2. Представим $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$, тогда:

$$\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^{\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 18}$$

Шаг 3. Применим тождество:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 18} = 18$$

Шаг 4. Вернёмся к выражению:

$$\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$$

Ответ: 2

г) Вычислить:

$$49^{1 — 0{,}5 \log_7 14}$$

Шаг 1. Преобразуем степень как частное:

$$\frac{49^1}{49^{0{,}5 \log_7 14}} = \frac{49}{49^{0{,}5 \log_7 14}}$$

Шаг 2. Представим $49 = 7^2$, тогда:

$$49^{0{,}5 \log_7 14} = (7^2)^{0{,}5 \log_7 14} = 7^{2 \cdot 0{,}5 \log_7 14} = 7^{\log_7 14}$$

Шаг 3. Применим тождество:

$$7^{\log_7 14} = 14$$

Шаг 4. Подставим:

$$\frac{49}{14} = 3{,}5$$

Ответ: 3,5