ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_2 3x = \log_2 4 + \log_2 6$;

б) $\log_{\sqrt{3}} \left(\frac{x}{2}\right) = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$;

в) $\log_4 5x = \log_4 35 — \log_4 7$;

г) $\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{x}{3}\right) = \log_{\sqrt{2}} 15 — \log_{\sqrt{2}} 6$

Решить уравнение:

а) $\log_2 3x = \log_2 4 + \log_2 6$;
$\log_2 3x = \log_2(4 \cdot 6)$;
$3x = 24$;
$x = 8$;
Ответ: 8.

б) $\log_{\sqrt{3}} \left(\frac{x}{2}\right) = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$;
$\log_{\sqrt{3}} \left(\frac{x}{2}\right) = \log_{\sqrt{3}}(6 \cdot 2)$;
$\frac{x}{2} = 12$;
$x = 24$;
Ответ: 24.

в) $\log_4 5x = \log_4 35 — \log_4 7$;
$\log_4 5x = \log_4 \frac{35}{7}$;
$5x = 5$;
$x = 1$;
Ответ: 1.

г) $\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{x}{3}\right) = \log_{\sqrt{2}} 15 — \log_{\sqrt{2}} 6$;
$\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{x}{3}\right) = \log_{\sqrt{2}} \frac{15}{6}$;
$\frac{x}{3} = 2{,}5$;
$x = 7{,}5$;
Ответ: 7,5.

а)

Уравнение:

$$\log_2 (3x) = \log_2 4 + \log_2 6$$

Шаг 1. Применим свойство суммы логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) \Rightarrow \log_2 4 + \log_2 6 = \log_2(4 \cdot 6) = \log_2 24$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_2 (3x) = \log_2 24$$

Шаг 3. Логарифмы равны → равны аргументы:

$$3x = 24$$

Шаг 4. Разделим обе части на 3:

$$x = \frac{24}{3} = 8$$

Ответ: $$$\boxed{x = 8}$

б)

Уравнение:

$$\log_{\sqrt{3}} \left( \frac{x}{2} \right) = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$$

Шаг 1. Применим свойство суммы логарифмов:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) \Rightarrow \log_{\sqrt{3}}(6 \cdot 2) = \log_{\sqrt{3}} 12$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_{\sqrt{3}} \left( \frac{x}{2} \right) = \log_{\sqrt{3}} 12$$

Шаг 3. Равенство логарифмов → равенство аргументов:

$$\frac{x}{2} = 12$$

Шаг 4. Умножим обе части на 2:

$$x = 12 \cdot 2 = 24$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 24}$

в)

Уравнение:

$$\log_4 (5x) = \log_4 35 — \log_4 7$$

Шаг 1. Применим свойство разности логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \Rightarrow \log_4 \left( \frac{35}{7} \right) = \log_4 5$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_4 (5x) = \log_4 5$$

Шаг 3. Равенство логарифмов → равенство аргументов:

$$5x = 5$$

Шаг 4. Разделим обе части на 5:

$$x = \frac{5}{5} = 1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle }}$$\boxed{x = 1}$

г)

Уравнение:

$$\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{x}{3} \right) = \log_{\sqrt{2}} 15 — \log_{\sqrt{2}} 6$$

Шаг 1. Применим свойство разности логарифмов:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \Rightarrow \log_{\sqrt{2}} \left( \frac{15}{6} \right)$$

Шаг 2. Сократим дробь:

$$\frac{15}{6} = 2{,}5 \Rightarrow \log_{\sqrt{2}} \left( \frac{x}{3} \right) = \log_{\sqrt{2}} 2{,}5$$

Шаг 3. Приравниваем аргументы:

$$\frac{x}{3} = 2{,}5$$

Шаг 4. Умножим обе части на 3:

$$x = 2{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$$

Ответ: $$$\boxed{x = 7{,}5}$