ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y={\log }_{2}8x$

б) $y={\log }_{\frac{1}{2}}4x$

в) $y={\log }_3\frac{x}{27}$

г) $y={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{x}{9}$

Построить график функции:

а) $y = \log_2 8x = \log_2 x + \log_2 8 = \log_2 x + 3$;
Построим график функции $y = \log_2 x$;
Переместим его на 3 единицы вверх:

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x = \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} x — 2$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;
Переместим его на 2 единицы вниз:

в) $y = \log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x — \log_3 27 = \log_3 x — 3$;
Построим график функции $y = \log_3 x$;
Переместим его на 3 единицы вниз:

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9} = \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$;
Переместим его на 2 единицы вверх:

а)

Функция:

$$y = \log_2 (8x)$$

Шаг 1. Разложим выражение с помощью свойства логарифма произведения:

$$\log_2 (8x) = \log_2 x + \log_2 8$$

Шаг 2. Вычислим $\log_2 8$:

$$\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$$

Шаг 3. Получаем:

$$y = \log_2 x + 3$$

Интерпретация:

• График функции $y = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая, определённая при $x > 0$.
• Она проходит через точку $(1, 0)$, возрастает, вогнута вниз.
• Добавление числа $+3$ означает параллельный перенос вверх на 3 единицы.

Вывод:
График функции $y = \log_2 (8x)$ получается из графика $y = \log_2 x$ сдвигом вверх на 3 единицы.
Ось асимптоты остаётся на $x = 0$. Область определения: $x > 0$.

б)

Функция:

$$y = \log_{\frac{1}{2}} (4x)$$

Шаг 1. Разложим логарифм произведения:

$$\log_{\frac{1}{2}} (4x) = \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Шаг 2. Вычислим:

$$\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{\frac{1}{2}} (2^2) = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 2 = 2 \cdot (-1) = -2$$

Шаг 3. Получаем:

$$y = \log_{\frac{1}{2}} x — 2$$

Интерпретация:

• График $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — убывающая логарифмическая кривая, так как основание $\frac{1}{2} < 1$.
• Проходит через точку $(1, 0)$, определена при $x > 0$, асимптота $x = 0$.
• Выражение $-2$ означает сдвиг вниз на 2 единицы.

Вывод:
График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} (4x)$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вниз на 2 единицы. Область определения: $x > 0$.

в)

Функция:

$$y = \log_3 \left( \frac{x}{27} \right)$$

Шаг 1. Разложим дробь по свойству логарифма:

$$\log_3 \left( \frac{x}{27} \right) = \log_3 x — \log_3 27$$

Шаг 2. Вычислим $\log_3 27$:

$$27 = 3^3 \Rightarrow \log_3 27 = 3$$

Шаг 3. Получаем:

$$y = \log_3 x — 3$$

Интерпретация:

• График $y = \log_3 x$ — возрастающая логарифмическая кривая, определённая при $x > 0$.
• Проходит через точку $(1, 0)$, асимптота — вертикальная прямая $x = 0$.
• Минус 3 означает параллельный сдвиг вниз на 3 единицы.

Вывод:
График функции $y = \log_3 \left( \frac{x}{27} \right)$ получается из графика $y = \log_3 x$ сдвигом вниз на 3 единицы. Область определения: $x > 0$.

г)

Функция:

$$y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{x}{9} \right)$$

Шаг 1. Преобразуем по свойству:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{x}{9} \right) = \log_{\frac{1}{3}} x — \log_{\frac{1}{3}} 9$$

Шаг 2. Вычислим $\log_{\frac{1}{3}} 9$:

$$9 = 3^2 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = 2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 3$$

Поскольку:

$$\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} 9 = 2 \cdot (-1) = -2$$

Шаг 3. Подставим:

$$y = \log_{\frac{1}{3}} x — (-2) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$$

Интерпретация:

• $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая логарифмическая функция (основание $< 1$).
• График проходит через $(1, 0)$, область определения: $x > 0$, асимптота: $x = 0$.
• Слагаемое $+2$ означает сдвиг вверх на 2 единицы.

Вывод:
График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{x}{9} \right)$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом вверх на 2 единицы.