ГДЗ 10-11 Класс Номер 43.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y={\log }_2{x}^3$

б) $y={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}$

в) $y={\log }_3\frac{1}{x}$

г) $y={\log }_{\frac{1}{2}}{x}^3$

Построить график функции:

а) $y = \log_2 x^3 = 3\log_2 x$;
Построим график функции $y = \log_2 x$;
Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x} = \log_{\frac{1}{3}} x^{-1} = -\log_{\frac{1}{3}} x$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$;
Отразим его относительно оси абсцисс:

в) $y = \log_3 \frac{1}{x} = \log_3 x^{-1} = -\log_3 x$;
Построим график функции $y = \log_3 x$;
Отразим его относительно оси абсцисс:

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^3 = 3\log_{\frac{1}{2}} x$;
Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;
Растянем его в 3 раза от оси абсцисс:

а)

Функция:

$$y = \log_2 x^3$$

Шаг 1. Применим свойство логарифма степени:

$$\log_a x^n = n \log_a x \Rightarrow y = 3 \log_2 x$$

Шаг 2. Базовая функция:

$$y = \log_2 x$$

— возрастает, проходит через точку $(1, 0)$, область определения: $x > 0$, вертикальная асимптота: $x = 0$

Шаг 3. Умножение логарифма на 3 — вертикальное растяжение графика:
Каждое значение ординаты увеличивается в 3 раза:

• Было: $x = 2 \Rightarrow y = 1$, стало: $x = 2 \Rightarrow y = 3$
• Было: $x = 4 \Rightarrow y = 2$, стало: $x = 4 \Rightarrow y = 6$

Вывод:
График $y = \log_2 x^3$ получается из графика $y = \log_2 x$ растяжением вверх от оси абсцисс в 3 раза.

б)

Функция:

$$y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{x} \right)$$

Шаг 1. Представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$:

$$y = \log_{\frac{1}{3}} x^{-1}$$

Шаг 2. Применим свойство логарифма степени:

$$\log_a x^n = n \log_a x \Rightarrow y = -\log_{\frac{1}{3}} x$$

Шаг 3. Базовая функция:

$$y = \log_{\frac{1}{3}} x$$

— убывает (так как $0 < \frac{1}{3} < 1$), проходит через точку $(1, 0)$, определена при $x > 0$, асимптота — прямая $x = 0$

Шаг 4. Умножение на $-1$ — отражение графика относительно оси абсцисс (ось $x$):

• Было: $x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 1$, стало: $x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = -1$
• Было: $x = 3 \Rightarrow y = -1$, стало: $x = 3 \Rightarrow y = 1$

Вывод:
График $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x}$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ отражением относительно оси $x$.

в)

Функция:

$$y = \log_3 \left( \frac{1}{x} \right)$$

Шаг 1. Запишем дробь как степень:

$$\frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow y = \log_3 x^{-1}$$

Шаг 2. Применим логарифмическое свойство:

$$y = -\log_3 x$$

Шаг 3. Базовая функция:

$$y = \log_3 x$$

— возрастает (так как основание $> 1$), проходит через точку $(1, 0)$, область определения: $x > 0$

Шаг 4. Умножение на $-1$:

• Выполняется отражение графика относительно оси $x$

Пример:

• Было: $x = 3 \Rightarrow y = 1$, стало: $x = 3 \Rightarrow y = -1$
• Было: $x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = -1$, стало: $x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = 1$

Вывод:
График функции $y = \log_3 \frac{1}{x}$ — это график $y = \log_3 x$, отражённый относительно оси абсцисс.

г)

Функция:

$$y = \log_{\frac{1}{2}} x^3$$

Шаг 1. Применим свойство:

$$y = 3 \log_{\frac{1}{2}} x$$

Шаг 2. Базовая функция:

$$y = \log_{\frac{1}{2}} x$$

— убывающая кривая (основание меньше 1), определена при $x > 0$, проходит через $(1, 0)$

Шаг 3. Умножение на 3 — растяжение графика от оси $x$ в 3 раза:

• Было: $x = 2 \Rightarrow y = -1$, стало: $x = 2 \Rightarrow y = -3$
• Было: $x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1$, стало: $x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 3$

Вывод:
График $y = \log_{\frac{1}{2}} x^3$ — это график $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, растянутый в 3 раза от оси абсцисс (по оси $y$).