ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_{23}(2x − 1) − \log_{23} x = 0$;

б) $\log_{0{,}5}(4x − 1) − \log_{0{,}5}(7x − 3) = 1$;

в) $\log_{3{,}4}(x^2 − 5x + 8) − \log_{3{,}4} x = 0$;

г) $\log_{\frac{1}{2}}(x + 9) − \log_{\frac{1}{2}}(8 − 3x) = 2$

Решить уравнение:

а) $\log_{23}(2x − 1) − \log_{23} x = 0$;
$\log_{23}(2x − 1) = \log_{23} x$;
$2x − 1 = x$;
$x = 1$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: 1

б) $\log_{0{,}5}(4x − 1) − \log_{0{,}5}(7x − 3) = 1$;
$\log_{0{,}5}(4x − 1) = \log_{0{,}5} 0{,}5 + \log_{0{,}5}(7x − 3)$;
$\log_{0{,}5}(4x − 1) = \log_{0{,}5}(0{,}5 \cdot (7x − 3))$;
$4x − 1 = 3{,}5x − 1{,}5$;
$0{,}5x = −0{,}5$;
$x = −1$;

Выражение имеет смысл при:
$4x − 1 > 0$;
$4x > 1$;
$x > 0{,}25$;

Ответ: корней нет

в) $\log_{3{,}4}(x^2 − 5x + 8) − \log_{3{,}4} x = 0$;
$\log_{3{,}4}(x^2 − 5x + 8) = \log_{3{,}4} x$;
$x^2 − 5x + 8 = x$;
$x^2 − 6x + 8 = 0$;
$D = 6^2 − 4 \cdot 8 = 36 − 32 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{6 − 2}{2} = 2$, $x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0$;

Ответ: 2; 4

г) $\log_{\frac{1}{2}}(x + 9) − \log_{\frac{1}{2}}(8 − 3x) = 2$;
$\log_{\frac{1}{2}}(x + 9) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} + \log_{\frac{1}{2}}(8 − 3x)$;
$\log_{\frac{1}{2}}(x + 9) = \log_{\frac{1}{2}}(0{,}25 \cdot (8 − 3x))$;
$x + 9 = 2 − 0{,}75x$;
$1{,}75x = −7$;
$x = −4$;

Выражение имеет смысл при:
$x + 9 > 0 \Rightarrow x > −9$;
$8 − 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{8}{3}$;

Ответ: −4

а) $\log_{23}(2x — 1) — \log_{23}x = 0$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\log_a b — \log_a c = \log_a\left( \frac{b}{c} \right)$$

Тогда:

$$\log_{23}(2x — 1) — \log_{23}x = \log_{23}\left( \frac{2x — 1}{x} \right)$$

Шаг 2. Полученное выражение равно нулю:

$$\log_{23}\left( \frac{2x — 1}{x} \right) = 0$$

Шаг 3. Преобразуем:

$$\log_{23}A = 0 \Rightarrow A = 1$$

Значит:

$$\frac{2x — 1}{x} = 1$$

Шаг 4. Убираем дробь:

$$2x — 1 = x$$

Шаг 5. Переносим $x$ влево:

$$2x — x = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 6. Область допустимых значений (ОДЗ):

• $x > 0$
• $2x — 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

Так как $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ, это допустимое решение.

Ответ: 1

б) $\log_{0{,}5}(4x — 1) — \log_{0{,}5}(7x — 3) = 1$

Шаг 1. Преобразуем левую часть:

$$\log_{0{,}5} \left( \frac{4x — 1}{7x — 3} \right)$$

Шаг 2. Получаем:

$$\log_{0{,}5} \left( \frac{4x — 1}{7x — 3} \right) = 1$$

Шаг 3. Используем определение логарифма:

$$\log_{a} A = 1 \Rightarrow A = a$$

Значит:

$$\frac{4x — 1}{7x — 3} = 0{,}5$$

Шаг 4. Умножаем обе части на $7x — 3$:

$$4x — 1 = 0{,}5(7x — 3)$$ $$4x — 1 = 3{,}5x — 1{,}5$$

Шаг 5. Переносим все влево:

$$4x — 3{,}5x = -1{,}5 + 1 \Rightarrow 0{,}5x = -0{,}5 \Rightarrow x = -1$$

Шаг 6. ОДЗ:

• $4x — 1 > 0 \Rightarrow x > 0{,}25$
• $7x — 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{7} \approx 0{,}428$

Требуется:

$$x > \frac{3}{7}$$

Но $x = -1 \not> \frac{3}{7}$

Ответ: корней нет

в) $\log_{3{,}4}(x^2 — 5x + 8) — \log_{3{,}4}x = 0$

Шаг 1. Разность логарифмов:

$$\log_{3{,}4}\left( \frac{x^2 — 5x + 8}{x} \right) = 0$$

Шаг 2. Приравниваем аргумент к 1:

$$\frac{x^2 — 5x + 8}{x} = 1$$

Шаг 3. Умножаем обе части на $x$:

$$x^2 — 5x + 8 = x \Rightarrow x^2 — 6x + 8 = 0$$

Шаг 4. Находим дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Шаг 5. Находим корни:

$$x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Шаг 6. ОДЗ:

• $x > 0$
• $x^2 — 5x + 8 > 0$ (всегда > 0, так как $D < 0$ у квадратного трёхчлена с положительным $a$)

Оба корня $x = 2$ и $x = 4$ подходят.

Ответ: 2; 4

г) $\log_{\frac{1}{2}}(x + 9) — \log_{\frac{1}{2}}(8 — 3x) = 2$

Шаг 1. Разность логарифмов:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x + 9}{8 — 3x} \right) = 2$$

Шаг 2. Преобразуем логарифмическое равенство:

$$\frac{x + 9}{8 — 3x} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Шаг 3. Умножаем обе части на $8 — 3x$:

$$x + 9 = \frac{1}{4}(8 — 3x)$$

Шаг 4. Раскрываем скобки:

$$x + 9 = 2 — 0{,}75x$$

Шаг 5. Переносим все к одному члену:

$$x + 0{,}75x = 2 — 9 \Rightarrow 1{,}75x = -7 \Rightarrow x = -4$$

Шаг 6. ОДЗ:

• $x + 9 > 0 \Rightarrow x > -9$
• $8 — 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{8}{3} \approx 2{,}67$

Итак:

$$-9 < x < \frac{8}{3} \Rightarrow x = -4 \text{ — подходит}$$

Ответ: -4

Итоговые ответы:

а) 1
б) корней нет
в) 2; 4
г) −4