ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_x(2x^2 + x — 2) = 3$;

б) $\log_{x — 1}(12x — x^2 — 19) = 3$

Решить уравнение:

а) $\log_x(2x^2 + x — 2) = 3$;
$\log_x(2x^2 + x — 2) = \log_x x^3$;
$2x^2 + x — 2 = x^3$;
$2x^2 — 2 + x — x^3 = 0$;
$2(x^2 — 1) — x(x^2 — 1) = 0$;
$(x^2 — 1)(2 — x) = 0$;
$(x + 1)(x — 1)(x — 2) = 0$;
$x_1 = -1,\ x_2 = 1,\ x_3 = 2$;

Выражение имеет смысл при:
$x > 0,\ x \ne 1$;

Ответ: 2

б) $\log_{x — 1}(12x — x^2 — 19) = 3$;
$\log_{x — 1}(12x — x^2 — 19) = \log_{x — 1}(x — 1)^3$;
$12x — x^2 — 19 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1$;
$x^3 — 2x^2 — 9x + 18 = 0$;
$x^2(x — 2) — 9(x — 2) = 0$;
$(x^2 — 9)(x — 2) = 0$;
$(x + 3)(x — 2)(x — 3) = 0$;
$x_1 = -3,\ x_2 = 2,\ x_3 = 3$;

Выражение имеет смысл при:
$x — 1 > 0\ \Rightarrow\ x > 1$;
$x — 1 \ne 1\ \Rightarrow\ x \ne 2$;

Ответ: 3

а) $\log_x(2x^2 + x — 2) = 3$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

Запишем число 3 в виде логарифма по основанию $x$:

$$3 = \log_x(x^3)$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\log_x(2x^2 + x — 2) = \log_x(x^3)$$

Шаг 2. Равенство логарифмов с одинаковым основанием:

Если $\log_x A = \log_x B$, то при $x > 0,\ x \ne 1,\ A > 0,\ B > 0$
следует:

$$2x^2 + x — 2 = x^3$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону:

$$2x^2 + x — 2 — x^3 = 0 \Rightarrow -x^3 + 2x^2 + x — 2 = 0$$

Удобнее изменить знак:

$$x^3 — 2x^2 — x + 2 = 0$$

Шаг 4. Группируем:

$$x^3 — 2x^2 — x + 2 = x^2(x — 2) -1(x — 2) = (x^2 — 1)(x — 2)$$

Шаг 5. Разложим на множители:

$$x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) \Rightarrow (x + 1)(x — 1)(x — 2) = 0$$

Шаг 6. Найдём корни:

$$x_1 = -1,\quad x_2 = 1,\quad x_3 = 2$$

Шаг 7. Область допустимых значений (ОДЗ):

• Основание логарифма: $x > 0$, $x \ne 1$
• Подлогарифмическое выражение: $2x^2 + x — 2 > 0$

Проверим каждый корень:

• $x = -1$: не подходит, т.к. $x \leq 0$
• $x = 1$: не подходит, т.к. основание логарифма $= 1$ — запрещено
• $x = 2$:
  • $x > 0$, $x \ne 1$ — да
  • $2x^2 + x — 2 = 8 + 2 — 2 = 8 > 0$ — да

Окончательный ответ: 2

б) $\log_{x — 1}(12x — x^2 — 19) = 3$

Шаг 1. Представим правую часть как логарифм:

$$3 = \log_{x — 1}((x — 1)^3)$$

Тогда:

$$\log_{x — 1}(12x — x^2 — 19) = \log_{x — 1}((x — 1)^3)$$

Шаг 2. Приравниваем аргументы:

$$12x — x^2 — 19 = (x — 1)^3$$

Шаг 3. Раскроем куб бинома:

$$(x — 1)^3 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1$$

Шаг 4. Подставим в уравнение:

$$12x — x^2 — 19 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$12x — x^2 — 19 — x^3 + 3x^2 — 3x + 1 = 0$$

Соберём подобные:

$$-x^3 + 2x^2 + 9x — 18 = 0$$

Изменим знаки:

$$x^3 — 2x^2 — 9x + 18 = 0$$

Шаг 5. Разложим многочлен:

Группируем:

$$x^3 — 2x^2 — 9x + 18 = x^2(x — 2) — 9(x — 2) = (x^2 — 9)(x — 2)$$ $$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3) \Rightarrow (x + 3)(x — 3)(x — 2) = 0$$

Шаг 6. Найдём корни:

$$x_1=-3,x_2=3,x_3=2$$

Шаг 7. Область допустимых значений (ОДЗ):

• Основание логарифма: $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$, и $x — 1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 2$
• Подлогарифмическое выражение: $12x — x^2 — 19 > 0$

Проверим корни:

• $x = -3$: не подходит (отрицательное основание)
• $x = 2$:
  • $x > 1$ — да
  • $x \ne 2$? — нет, исключаем
• $x = 3$:
  • $x — 1 = 2 > 0$, $x \ne 2$ — да
  • $12x — x^2 — 19 = 36 — 9 — 19 = 8 > 0$ — да

Окончательный ответ: 3

Итоговые ответы:

а) 2

б) 3