ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\lg^2 x — \lg x + 1 = \dfrac{9}{\lg 10x}$;

б) $\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \dfrac{37}{\log_3 \dfrac{x}{27}}$;

в) $\lg^2 x — 2\lg x + 4 = \dfrac{9}{\lg 100x}$;

г) $\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = -\dfrac{218}{\log_2 \dfrac{x}{128}}$

Решить уравнение:

а) $\lg^2 x — \lg x + 1 = \dfrac{9}{\lg 10x}$;
$\lg^2 x — \lg x + 1 = \dfrac{9}{1 + \lg x}$;

Пусть $y = \lg x$, тогда:
$y^2 — y + 1 = \dfrac{9}{1 + y} \quad | \cdot (y + 1)$;
$(y + 1)(y^2 — y + 1) = 9$;
$y^3 + 1 = 9$;
$y^3 = 8$;
$y = \sqrt[3]{8} = 2$;

Вернем замену:
$\lg x = 2$;
$x = 10^2 = 100$;

Ответ: 100

б) $\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \dfrac{37}{\log_3 \dfrac{x}{27}}$;
$\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \dfrac{37}{\log_3 x — 3}$;

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:
$y^2 + 3y + 9 = \dfrac{37}{y — 3} \quad | \cdot (y — 3)$;
$(y — 3)(y^2 + 3y + 9) = 37$;
$y^3 — 27 = 37$;
$y^3 = 64$;
$y = \sqrt[3]{64} = 4$;

Вернем замену:
$\log_3 x = 4$;
$x = 3^4 = 81$;

Ответ: 81

в) $\lg^2 x — 2\lg x + 4 = \dfrac{9}{\lg 100x}$;
$\lg^2 x — 2\lg x + 4 = \dfrac{9}{2 + \lg x}$;

Пусть $y = \lg x$, тогда:
$y^2 — 2y + 4 = \dfrac{9}{2 + y} \quad | \cdot (y + 2)$;
$(y + 2)(y^2 — 2y + 4) = 9$;
$y^3 + 8 = 9$;
$y^3 = 1$;
$y = \sqrt[3]{1} = 1$;

Вернем замену:
$\lg x = 1$;
$x = 10^1 = 10$;

Ответ: 10

г) $\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = -\dfrac{218}{\log_2 \dfrac{x}{128}}$;
$\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = -\dfrac{218}{\log_2 x — 7}$;

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$y^2 + 7y + 49 = -\dfrac{218}{y — 7} \quad | \cdot (y — 7)$;
$(y — 7)(y^2 + 7y + 49) = -218$;
$y^3 — 343 = -218$;
$y^3 = 125$;
$y = \sqrt[3]{125} = 5$;

Вернем замену:
$\log_2 x = 5$;
$x = 2^5 = 32$;

Ответ: 32

а)

Уравнение:

$$\lg^2 x — \lg x + 1 = \frac{9}{\lg 10x}$$

Шаг 1. Раскроем логарифм произведения:

$$\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$$

Значит:

$$\frac{9}{\lg 10x} = \frac{9}{1 + \lg x}$$

Шаг 2. Введём замену:

$$y = \lg x \Rightarrow y^2 — y + 1 = \frac{9}{1 + y}$$

Шаг 3. Умножим обе части уравнения на $1 + y$:

$$(y^2 — y + 1)(y + 1) = 9$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$y^3 + y^2 — y^2 — y + y + 1 = y^3 + 1 \Rightarrow y^3 + 1 = 9$$

Шаг 5. Найдём $y$:

$$y^3 = 8 \Rightarrow y = \sqrt[3]{8} = 2$$

Шаг 6. Вернём замену:

$$\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$$

Ответ: 100

б)

Уравнение:

$$\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \left( \frac{x}{27} \right)}$$

Шаг 1. Раскроем логарифм дроби:

$$\log_3 \left( \frac{x}{27} \right) = \log_3 x — \log_3 27 = \log_3 x — 3$$

Шаг 2. Обозначим:

$$y = \log_3 x \Rightarrow y^2 + 3y + 9 = \frac{37}{y — 3}$$

Шаг 3. Умножим обе части уравнения на $y — 3$:

$$(y — 3)(y^2 + 3y + 9) = 37$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$y^3 — 3y^2 + 3y^2 — 9y + 9y — 27 = y^3 — 27 \Rightarrow y^3 — 27 = 37$$

Шаг 5. Решим:

$$y^3 = 64 \Rightarrow y = \sqrt[3]{64} = 4$$

Шаг 6. Вернём замену:

$$\log_3 x = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$$

Ответ: 81

в)

Уравнение:

$$\lg^2 x — 2\lg x + 4 = \frac{9}{\lg(100x)}$$

Шаг 1. Раскроем логарифм произведения:

$$\lg(100x) = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$$

Шаг 2. Введём замену:

$$y = \lg x \Rightarrow y^2 — 2y + 4 = \frac{9}{y + 2}$$

Шаг 3. Умножим обе части на $y + 2$:

$$(y + 2)(y^2 — 2y + 4) = 9$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$y^3 + 2y^2 — 2y^2 — 4y + 4y + 8 = y^3 + 8 \Rightarrow y^3 + 8 = 9$$

Шаг 5. Решим:

$$y^3 = 1 \Rightarrow y = \sqrt[3]{1} = 1$$

Шаг 6. Вернём замену:

$$\lg x = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10$$

Ответ: 10

г)

Уравнение:

$$\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = -\frac{218}{\log_2 \left( \frac{x}{128} \right)}$$

Шаг 1. Раскроем логарифм дроби:

$$\log_2 \left( \frac{x}{128} \right) = \log_2 x — \log_2 128 = \log_2 x — 7$$

Шаг 2. Введём замену:

$$y = \log_2 x \Rightarrow y^2 + 7y + 49 = -\frac{218}{y — 7}$$

Шаг 3. Умножим обе части на $y — 7$:

$$(y — 7)(y^2 + 7y + 49) = -218$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$y^3 — 343 = -218 \Rightarrow y^3 = 125 \Rightarrow y = \sqrt[3]{125} = 5$$

Шаг 5. Вернём замену:

$$\log_2 x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$$

Ответ: 32

Итоговые ответы:

а) 100
б) 81
в) 10
г) 32