ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^{\log_3 x} = 81$;

б) $x^{\log_{0.5} x} = \frac{1}{16}$;

в) $x^{\log_2 x} = 16$;

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}$

Решить уравнение:

а) $x^{\log_3 x} = 81$;
$\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 81$;
$\log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3 3^4$;
$\log_3^2 x = 4$;
$\log_3 x = \pm 2$;
$x_1 = 3^{-2} = \frac{1}{9}$;
$x_2 = 3^2 = 9$;
Ответ: $\frac{1}{9};\ 9$.

б) $x^{\log_{0.5} x} = \frac{1}{16}$;
$\log_{0.5} x^{\log_{0.5} x} = \log_{0.5} \frac{1}{16}$;
$\log_{0.5} x \cdot \log_{0.5} x = \log_{0.5} \left( \frac{1}{2} \right)^4$;
$\log_{0.5}^2 x = 4$;
$\log_{0.5} x = \pm 2$;
$x_1 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$;
$x_2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} = 0,25$;
Ответ: $0,25;\ 4$.

в) $x^{\log_2 x} = 16$;
$\log_2 x^{\log_2 x} = \log_2 16$;
$\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_2 2^4$;
$\log_2^2 x = 4$;
$\log_2 x = \pm 2$;
$x_1 = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0,25$;
$x_2 = 2^2 = 4$;
Ответ: $0,25;\ 4$.

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}$;
$\log_{\frac{1}{3}} x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{81}$;
$\log_{\frac{1}{3}} x \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^4$;
$\log_{\frac{1}{3}}^2 x = 4$;
$\log_{\frac{1}{3}} x = \pm 2$;
$x_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = 9$;
$x_2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$;
Ответ: $\frac{1}{9};\ 9$.

Решить уравнение:

а) $x^{\log_3 x} = 81$

Шаг 1. Преобразуем уравнение с помощью логарифмирования по основанию 3:
Левая часть:
$x^{\log_3 x} \Rightarrow \log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3 x \cdot \log_3 x = (\log_3 x)^2$
Правая часть:
$\log_3 81$.
Заметим, что $81 = 3^4$, значит:
$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

Таким образом, получаем уравнение:
$(\log_3 x)^2 = 4$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:
$\log_3 x = \pm 2$

Рассмотрим оба случая:

1. $\log_3 x = 2$

   Тогда $x = 3^2 = 9$

2. $\log_3 x = -2$

   Тогда $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9};\ 9$

б) $x^{\log_{0{,}5} x} = \frac{1}{16}$

Шаг 1. Преобразуем уравнение с помощью логарифмирования по основанию $0{,}5$:
Левая часть:
$x^{\log_{0{,}5} x} \Rightarrow \log_{0{,}5}(x^{\log_{0{,}5} x}) = \log_{0{,}5} x \cdot \log_{0{,}5} x = (\log_{0{,}5} x)^2$
Правая часть:
$\log_{0{,}5} \left( \frac{1}{16} \right)$

Заметим, что $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$, а $\frac{1}{2} = 0{,}5$, значит:
$\log_{0{,}5} \left( \frac{1}{16} \right) = \log_{0{,}5} \left( 0{,}5^4 \right) = 4$

Таким образом, получаем уравнение:
$(\log_{0{,}5} x)^2 = 4$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:
$\log_{0{,}5} x = \pm 2$

Рассмотрим оба случая:

1. $\log_{0{,}5} x = 2$

   Тогда $x = (0{,}5)^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25$

2. $\log_{0{,}5} x = -2$

   Тогда $x = (0{,}5)^{-2} = \frac{1}{(0{,}5)^2} = \frac{1}{0{,}25} = 4$

Ответ: $0{,}25;\ 4$

в) $x^{\log_2 x} = 16$

Шаг 1. Преобразуем уравнение с помощью логарифмирования по основанию 2:
Левая часть:
$x^{\log_2 x} \Rightarrow \log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2 x \cdot \log_2 x = (\log_2 x)^2$
Правая часть:
$\log_2 16$

Поскольку $16 = 2^4$, то:
$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

Таким образом, получаем уравнение:
$(\log_2 x)^2 = 4$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:
$\log_2 x = \pm 2$

Рассмотрим оба случая:

1. $\log_2 x = 2$

   Тогда $x = 2^2 = 4$

2. $\log_2 x = -2$

   Тогда $x = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Ответ: $0{,}25;\ 4$

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}$

Шаг 1. Преобразуем уравнение с помощью логарифмирования по основанию $\frac{1}{3}$:
Левая часть:
$x^{\log_{\frac{1}{3}} x} \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}(x^{\log_{\frac{1}{3}} x}) = \log_{\frac{1}{3}} x \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = (\log_{\frac{1}{3}} x)^2$
Правая часть:
$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{81} \right)$

Заметим, что $\frac{1}{81} = \left( \frac{1}{3} \right)^4$, значит:
$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{81} \right) = \log_{\frac{1}{3}} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^4 \right) = 4$

Таким образом, получаем уравнение:
$(\log_{\frac{1}{3}} x)^2 = 4$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:
$\log_{\frac{1}{3}} x = \pm 2$

Рассмотрим оба случая:

1. $\log_{\frac{1}{3}} x = 2$

   Тогда $x = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$

2. $\log_{\frac{1}{3}} x = -2$

   Тогда $x = \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} = \frac{1}{\left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$

Ответ: $\frac{1}{9};\ 9$