ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x^{1+\log_3 x} = 9$;

б) $x^{\log_{0.5} x — 2} = 0,125$;

в) $x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16}$;

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x — 4} = 27$

Решить уравнение:

а) $x^{1+\log_3 x} = 9$;
$\log_3 x^{1+\log_3 x} = \log_3 9$;
$(1 + \log_3 x) \cdot \log_3 x = 2$;
Пусть $y = \log_3 x$, тогда:
$(1 + y) \cdot y = 2$;
$y^2 + y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;

Первое значение:
$\log_3 x = -2$;
$x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$;

Второе значение:
$\log_3 x = 1$;
$x = 3^1 = 3$;

Ответ: $\frac{1}{9}; 3$.

б) $x^{\log_{0.5} x — 2} = 0,125$;
$\log_{0.5} x^{\log_{0.5} x — 2} = \log_{0.5} 0,125$;
$(\log_{0.5} x — 2) \cdot \log_{0.5} x = 3$;
Пусть $y = \log_{0.5} x$, тогда:
$(y — 2) \cdot y = 3$;
$y^2 — 2y — 3 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;

Первое значение:
$\log_{0.5} x = -1$;
$x = (0.5)^{-1} = 2$;

Второе значение:
$\log_{0.5} x = 3$;
$x = (0.5)^3 = \frac{1}{8}$;

Ответ: $\frac{1}{8}; 2$.

в) $x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16}$;
$\log_2 x^{5 + \log_2 x} = \log_2 \frac{1}{16}$;
$(5 + \log_2 x) \cdot \log_2 x = -4$;
Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$(5 + y) \cdot y = -4$;
$y^2 + 5y + 4 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4$ и $y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$;

Первое значение:
$\log_2 x = -4$;
$x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$;

Второе значение:
$\log_2 x = -1$;
$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{16}; \frac{1}{2}$.

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x — 4} = 27$;
$\log_{\frac{1}{3}} x^{\log_{\frac{1}{3}} x — 4} = \log_{\frac{1}{3}} 27$;
$\left( \log_{\frac{1}{3}} x — 4 \right) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = -3$;
Пусть $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, тогда:
$(y — 4) \cdot y = -3$;
$y^2 — 4y + 3 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;

Первое значение:
$\log_{\frac{1}{3}} x = 1$;
$x = \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3}$;

Второе значение:
$\log_{\frac{1}{3}} x = 3$;
$x = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$;

Ответ: $\frac{1}{27}; \frac{1}{3}$.

а) Уравнение:
$x^{1 + \log_3 x} = 9$

Шаг 1. Возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей уравнения:

$$\log_3 \left( x^{1 + \log_3 x} \right) = \log_3 9$$

Шаг 2. Воспользуемся свойством логарифма:

$$\log_a b^c = c \cdot \log_a b$$

Применим его к левой части:

$$(1 + \log_3 x) \cdot \log_3 x = \log_3 9$$

Шаг 3. Так как $9 = 3^2$, то

$$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$$

Шаг 4. Обозначим $y = \log_3 x$. Тогда уравнение становится:

$$(1 + y) \cdot y = 2$$

Раскроем скобки:

$$y^2 + y = 2$$

Перенесем 2 в левую часть:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 5. Найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 6. Найдём корни квадратного уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,\quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 7. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_3 x = -2$, то

$$x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$$

Если $\log_3 x = 1$, то

$$x = 3^1 = 3$$

Ответ: $\frac{1}{9};\ 3$

б) Уравнение:
$x^{\log_{0.5} x — 2} = 0{,}125$

Шаг 1. Возьмем логарифм по основанию $0{,}5$ от обеих частей:

$$\log_{0.5} \left( x^{\log_{0.5} x — 2} \right) = \log_{0.5} 0.125$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма:

$$(\log_{0.5} x — 2) \cdot \log_{0.5} x = \log_{0.5} 0.125$$

Шаг 3. Представим 0.125 как степень двойки:

$$0.125 = \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = (0.5)^3$$ $$\log_{0.5} 0.125 = \log_{0.5} (0.5)^3 = 3$$

Шаг 4. Обозначим $y = \log_{0.5} x$, тогда:

$$(y — 2) \cdot y = 3$$

Раскроем скобки:

$$y^2 — 2y = 3 \Rightarrow y^2 — 2y — 3 = 0$$

Шаг 5. Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Шаг 6. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1,\quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 7. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_{0.5} x = -1$, то

$$x = (0.5)^{-1} = 2$$

Если $\log_{0.5} x = 3$, то

$$x = (0.5)^3 = \frac{1}{8}$$

Ответ: $\frac{1}{8};\ 2$

в) Уравнение:
$x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16}$

Шаг 1. Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей:

$$\log_2 \left( x^{5 + \log_2 x} \right) = \log_2 \frac{1}{16}$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма:

$$(5 + \log_2 x) \cdot \log_2 x = \log_2 \left( 2^{-4} \right) = -4$$

Шаг 3. Обозначим $y = \log_2 x$, тогда:

$$(5 + y) \cdot y = -4 \Rightarrow y^2 + 5y = -4 \Rightarrow y^2 + 5y + 4 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Шаг 5. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4,\quad y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$$

Шаг 6. Вернёмся к $x$:
Если $\log_2 x = -4$, то

$$x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$$

Если $\log_2 x = -1$, то

$$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{16};\ \frac{1}{2}$

г) Уравнение:
$x^{\log_{\frac{1}{3}} x — 4} = 27$

Шаг 1. Возьмем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ от обеих частей:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( x^{\log_{\frac{1}{3}} x — 4} \right) = \log_{\frac{1}{3}} 27$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма:

$$(\log_{\frac{1}{3}} x — 4) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} (3^3)$$

Преобразуем правую часть:

$$\log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{\frac{1}{3}} (3^3) = \log_{\frac{1}{3}} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} \right) = -3$$

Шаг 3. Обозначим $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, тогда:

$$(y — 4) \cdot y = -3 \Rightarrow y^2 — 4y = -3 \Rightarrow y^2 — 4y + 3 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Шаг 5. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 6. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_{\frac{1}{3}} x = 1$, то

$$x = \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3}$$

Если $\log_{\frac{1}{3}} x = 3$, то

$$x = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$$

Ответ: $\frac{1}{27};\ \frac{1}{3}$