ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a)

$$\{\begin{array}{l}{\log }_2(x^2+3x-2)-{\log }_{2}y=1\\ 3x-y=2\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ {\log }_3(x^2+4x-3)-{\log }_{3}y=1\end{array}$$

Решить систему уравнений:

a)

$$\left\{ \begin{array}{l} \log_2(x^2 + 3x — 2) — \log_2 y = 1, \\ 3x — y = 2 \end{array} \right.$$

Второе уравнение:

$$3x — y = 2;$$ $$y = 3x — 2;$$

Первое уравнение:

$$\log_2(x^2 + 3x — 2) — \log_2 y = 1;$$ $$\log_2(x^2 + 3x — 2) = \log_2 2 + \log_2 y;$$ $$\log_2(x^2 + 3x — 2) = \log_2(2 \cdot (3x — 2));$$ $$x^2 + 3x — 2 = 6x — 4;$$ $$x^2 — 3x + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,$$

тогда:

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$ $$y_1 = 3 \cdot 1 — 2 = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = 3 \cdot 2 — 2 = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y > 0;$$

Ответ: $(1;\ 1);\ (2;\ 4)$

б)

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 7 \\ \log_3(x^2 + 4x — 3) — \log_3 y = 1 \end{array} \right.$$

Первое уравнение:

$$2x + y = 7;$$ $$y = 7 — 2x;$$

Второе уравнение:

$$\log_3(x^2 + 4x — 3) — \log_3 y = 1;$$ $$\log_3(x^2 + 4x — 3) = \log_3 3 + \log_3 y;$$ $$\log_3(x^2 + 4x — 3) = \log_3(3 \cdot (7 — 2x));$$ $$x^2 + 4x — 3 = 21 — 6x;$$ $$x^2 + 10x — 24 = 0;$$ $$D = 10^2 + 4 \cdot 24 = 100 + 96 = 196,$$

тогда:

$$x_1 = \frac{-10 — 14}{2} = -12 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2;$$ $$y_1 = 7 — 2 \cdot (-12) = 31 \quad \text{и} \quad y_2 = 7 — 2 \cdot 2 = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$y > 0;$$

Ответ: $(-12;31);(2;3)$$(-12;\ 31);\ (2;\ 3)$

а)

Решить систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{l} \log_2(x^2 + 3x — 2) — \log_2 y = 1, \\ 3x — y = 2 \end{array} \right.$$

Шаг 1. Выразим одну переменную из второго уравнения.

Дано:

$$3x — y = 2$$

Решаем относительно $y$:

$$y = 3x — 2$$

Шаг 2. Подставим найденное выражение для $y$ во второе уравнение.

Имеем:

$$\log_2(x^2 + 3x — 2) — \log_2 y = 1$$

Подставим $y = 3x — 2$:

$$\log_2(x^2 + 3x — 2) — \log_2(3x — 2) = 1$$

Шаг 3. Преобразуем левую часть уравнения с помощью свойства логарифмов:

$$\log_2 A — \log_2 B = \log_2 \left( \frac{A}{B} \right)$$

Применим:

$$\log_2 \left( \frac{x^2 + 3x — 2}{3x — 2} \right) = 1$$

Шаг 4. Перепишем уравнение в показательной форме.

Если:

$$\log_2 M = 1 \Rightarrow M = 2$$

Следовательно:

$$\frac{x^2 + 3x — 2}{3x — 2} = 2$$

Шаг 5. Умножим обе части уравнения на $3x — 2$ (предполагая, что $3x — 2 \ne 0$).

$$x^2 + 3x — 2 = 2(3x — 2)$$

Раскроем скобки в правой части:

$$x^2 + 3x — 2 = 6x — 4$$

Переносим всё в одну часть:

$$x^2 + 3x — 2 — 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 — 3x + 2 = 0$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение.

$$x^2 — 3x + 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Шаг 7. Найдём соответствующие значения $y$.

Подставим в выражение $y = 3x — 2$:

• При $x = 1$:
  $y = 3 \cdot 1 — 2 = 1$
• При $x = 2$:
  $y = 3 \cdot 2 — 2 = 4$

Шаг 8. Проверим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение $\log_2(x^2 + 3x — 2) — \log_2 y$ определено, если:

• $x^2 + 3x — 2 > 0$
• $y > 0$

Проверка:

• Для $x = 1$:
  $x^2 + 3x — 2 = 1 + 3 — 2 = 2 > 0$,
  $y = 1 > 0$
• Для $x = 2$:
  $x^2 + 3x — 2 = 4 + 6 — 2 = 8 > 0$,
  $y = 4 > 0$

Условия выполняются.

Ответ:

$$(1;\ 1);\quad (2;\ 4)$$

б)

Решить систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 7 \\ \log_3(x^2 + 4x — 3) — \log_3 y = 1 \end{array} \right.$$

Шаг 1. Выразим $y$ из первого уравнения.

$$2x + y = 7 \Rightarrow y = 7 — 2x$$

Шаг 2. Подставим в логарифмическое уравнение.

$$\log_3(x^2 + 4x — 3) — \log_3(7 — 2x) = 1$$

Шаг 3. Объединим логарифмы:

$$\log_3 \left( \frac{x^2 + 4x — 3}{7 — 2x} \right) = 1$$

Шаг 4. Переведём в показательную форму.

$$\frac{x^2 + 4x — 3}{7 — 2x} = 3$$

Шаг 5. Умножим обе части на $7 — 2x$ (ОДЗ: $7 — 2x \ne 0$)

$$x^2 + 4x — 3 = 3(7 — 2x) \Rightarrow x^2 + 4x — 3 = 21 — 6x$$

Перенесём всё в одну часть:

$$x^2 + 4x — 3 — 21 + 6x = 0 \Rightarrow x^2 + 10x — 24 = 0$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение.

$$x^2 + 10x — 24 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-10 — 14}{2} = -12,\quad x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2$$

Шаг 7. Найдём значения $y$.

Подставим в выражение $y = 7 — 2x$:

• При $x = -12$:
  $y = 7 — 2 \cdot (-12) = 7 + 24 = 31$
• При $x = 2$:
  $y = 7 — 2 \cdot 2 = 7 — 4 = 3$

Шаг 8. Проверим ОДЗ.

Выражение

$$\log_3(x^2 + 4x — 3) — \log_3 y$$

определено при:

• $x^2 + 4x — 3 > 0$
• $y > 0$

Проверка:

• Для $x = -12$:
  $x^2 + 4x — 3 = 144 — 48 — 3 = 93 > 0$,
  $y = 31 > 0$
• Для $x = 2$:
  $x^2 + 4x — 3 = 4 + 8 — 3 = 9 > 0$,
  $y = 3 > 0$

Условия выполняются.

Ответ:

$$(-12;\ 31);\quad (2;\ 3)$$