ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a)

$$\begin{cases} \log_5(x + y) = 1 \\ \log_6 x + \log_6 y = 1 \end{cases}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{0.5}(x+2y)={\log }_{0.5}(3x+y)\\ {\log }_7(x^2-y)={\log }_{7}x\end{array}$$

Решить систему уравнений:

a)

$$\begin{cases} \log_5(x + y) = 1 \\ \log_6 x + \log_6 y = 1 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\log_5(x + y) = 1; \\ x + y = 5; \\ y = 5 — x;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{6}x+{\log }_{6}y=1;$$

$${\log }_6(xy)={\log }_{6}6;$$

$$xy=6;$$

$$x(5-x)=6;$$

$${x}^2-5x+6=0;$$

$$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{ тогда:}$$

$${x}_1=\frac{5-1}{2}=2\text{ и }{x}_2=\frac{5+1}{2}=3;$$

$$\log_6 x + \log_6 y = 1; \\ \log_6(xy) = \log_6 6; \\ xy = 6; \\ x(5 — x) = 6; \\ x^2 — 5x + 6 = 0; \\ D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:} \\ x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \\ y_1 = 5 — 2 = 3 \text{ и } y_2 = 5 — 3 = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0, \; y > 0;$$

Ответ: $(2;\ 3);\ (3;\ 2)$

б)

$$\begin{cases} \log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y) \\ \log_7(x^2 — y) = \log_7 x \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y); \\ x + 2y = 3x + y; \\ y = 2x;$$

Второе уравнение:

$${\log }_7(x^2-y)={\log }_{7}x;$$

$${x}^2-y=x;$$

$${x}^2-2x=x;$$

$${x}^2-3x=0;$$

$$x(x-3)=0;$$

$${x}_1=0\text{ и }{x}_2=3;$$

$$\log_7(x^2 — y) = \log_7 x; \\ x^2 — y = x; \\ x^2 — 2x = x; \\ x^2 — 3x = 0; \\ x(x — 3) = 0; \\ x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 3; \\ y_1 = 0 \text{ и } y_2 = 2 \cdot 3 = 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $(3;6)$

а)

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \log_5(x + y) = 1 \\ \log_6 x + \log_6 y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1. Работа с первым уравнением

$$\log_5(x + y) = 1$$

Это логарифмическое уравнение. Вспомним определение логарифма:
Если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.

Применим это:

$$x + y = 5^1 = 5$$

Теперь выразим одну переменную через другую:

$$y = 5 — x$$

Шаг 2. Подставим в второе уравнение

$$\log_6 x + \log_6 y = 1$$

Подставим $y = 5 — x$:

$$\log_6 x + \log_6 (5 — x) = 1$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_6 x + \log_6 (5 — x) = \log_6 \left(x(5 — x)\right)$$

Тогда уравнение становится:

$$\log_6(x(5 — x)) = 1$$

Опять воспользуемся определением логарифма:

$$x(5 — x) = 6^1 = 6$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение

$$x(5 — x) = 6 \Rightarrow 5x — x^2 = 6$$

Приведём всё к стандартному виду:

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Решим через дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 4. Найдём соответствующие значения $y$

$$y = 5 — x$$

• При $x = 2$:
  $y = 5 — 2 = 3$
• При $x = 3$:
  $y = 5 — 3 = 2$

Шаг 5. Проверка ОДЗ (область допустимых значений)

Условие существования логарифмов:

• $x > 0$
• $y > 0$

Проверим:

• При $x = 2, y = 3$: оба положительные.
• При $x = 3, y = 2$: оба положительные.

Обе пары подходят.

Ответ:

$$(2;\ 3);\quad (3;\ 2)$$

б)

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} \log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y) \\ \log_7(x^2 — y) = \log_7 x \end{cases}$$

Шаг 1. Работа с первым уравнением

$$\log_{0.5}(x + 2y) = \log_{0.5}(3x + y)$$

Поскольку логарифмы равны, и основание $0.5 \in (0; 1)$, функция убывает. Поэтому равенство возможно только при:

$$x + 2y = 3x + y$$

Решим это линейное уравнение:

Перенесём всё в одну часть:

$$x + 2y — 3x — y = 0 \Rightarrow -2x + y = 0 \Rightarrow y = 2x$$

Шаг 2. Подставим в второе уравнение

$$\log_7(x^2 — y) = \log_7 x$$

Подставим $y = 2x$:

$$\log_7(x^2 — 2x) = \log_7 x$$

Используем свойство логарифма: если $\log_a A = \log_a B$, то $A = B$

$$x^2 — 2x = x \Rightarrow x^2 — 3x = 0 \Rightarrow x(x — 3) = 0$$

Шаг 3. Найдём корни

$$x_1 = 0,\quad x_2 = 3$$

Шаг 4. Найдём соответствующие $y$

$$y = 2x$$

• При $x = 0$:
  $y = 2 \cdot 0 = 0$
• При $x = 3$:
  $y = 2 \cdot 3 = 6$

Шаг 5. Проверим ОДЗ

Условия существования логарифмов:

• В первом уравнении:
  $x + 2y > 0$, $3x + y > 0$
• Во втором уравнении:
  $x^2 — y > 0$, $x > 0$

Проверка при $x = 0, y = 0$:

• $\log_7 0$ — не определён,
  $x = 0$ — не допустимо,

ОТВЕРГАЕМ этот корень.

Проверка при $x = 3, y = 6$:

• $x + 2y = 3 + 12 = 15 > 0$
• $3x + y = 9 + 6 = 15 > 0$
• $x^2 — y = 9 — 6 = 3 > 0$
• $x = 3 > 0$

Подходит.

Ответ:

$$(3;\ 6)$$