ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a)

$$\{\begin{array}{l}{2}^x\cdot 2^y=16\\ {\log }_{3}x+{\log }_{3}y=1\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{9}^x\cdot 3^y=81\\ {\log }_{2}x+{\log }_{2}y=1\end{array}$$

Решить систему уравнений:

a)

$$\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16 \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$2^x\cdot 2^y=16$$

$$2^x \cdot 2^y = 16$$ $$2^{x+y}=2^4$$

$$2^{x+y} = 2^4$$ $$x+y=4$$

$$x + y = 4$$ $$y = 4 — x$$

Второе уравнение:

$${\log }_{3}x+{\log }_{3}y=1$$

$$\log_3 x + \log_3 y = 1$$ $${\log }_3(xy)={\log }_{3}3$$

$$\log_3(xy) = \log_3 3$$ $$xy=3$$

$$xy = 3$$ $$x(4-x)=3$$

$$x(4 — x) = 3$$ $$x^2-4x+3=0$$

$$x^2 — 4x + 3 = 0$$ $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$x_1=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=\frac{4-2}{2}=1,x_2=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=\frac{4+2}{2}=3$$

$$x_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ $$y_1 = 4 — 1 = 3, \quad y_2 = 4 — 3 = 1$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0,\quad y > 0$$

Ответ:

$$(1;\ 3);\ (3;\ 1)$$

б)

$$\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81 \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$9^x\cdot 3^y=81$$

$$9^x \cdot 3^y = 81$$ $$3^{2x}\cdot 3^y=3^4$$

$$3^{2x} \cdot 3^y = 3^4$$ $$3^{2x+y}=3^4$$

$$3^{2x + y} = 3^4$$ $$2x+y=4$$

$$2x + y = 4$$ $$y = 4 — 2x$$

Второе уравнение:

$${\log }_{2}x+{\log }_{2}y=1$$

$$\log_2 x + \log_2 y = 1$$ $${\log }_2(xy)={\log }_{2}2$$

$$\log_2(xy) = \log_2 2$$ $$xy=2$$

$$xy = 2$$ $$x(4-2x)=2$$

$$x(4 — 2x) = 2$$ $$-2x^2+4x-2=0$$

$$-2x^2 + 4x — 2 = 0$$ $$2x^2-4x+2=0$$

$$2x^2 — 4x + 2 = 0$$ $$x^2-2x+1=0$$

$$x^2 — 2x + 1 = 0$$ $$(x-1{)}^2=0$$

$$(x — 1)^2 = 0$$ $$x=1$$

$$x = 1$$ $$y = 4 — 2 \cdot 1 = 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0,\quad y > 0$$

Ответ:

$$(1;\ 2)$$

Задача a

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16 \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Дано:

$$2^x \cdot 2^y = 16$$

Свойство степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Применим это свойство:

$$2^{x+y} = 16$$

Представим 16 как степень двойки:

$$16 = 2^4$$

Тогда:

$$2^{x+y} = 2^4$$

Так как основания одинаковые, можно приравнять показатели:

$$x + y = 4$$

Шаг 2: Выразим переменную y через x

Из уравнения:

$$x + y = 4$$

получаем:

$$y = 4 — x$$

Шаг 3: Подставим y = 4 — x во второе уравнение

Второе уравнение:

$$\log_3 x + \log_3 y = 1$$

Подставим выражение для $y$:

$$\log_3 x + \log_3 (4 — x) = 1$$

Свойство логарифмов:

$$\log_b m + \log_b n = \log_b (m \cdot n)$$

Применим:

$$\log_3 (x(4 — x)) = 1$$

Преобразуем правую часть:

$$1 = \log_3 3$$

Тогда:

$$\log_3 (x(4 — x)) = \log_3 3$$

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, приравниваем аргументы:

$$x(4 — x) = 3$$

Шаг 4: Раскроем скобки и решим квадратное уравнение

$$x(4 — x) = 3$$ $$4x — x^2 = 3$$

Переносим всё в одну сторону:

$$x^2 — 4x + 3 = 0$$

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Находим корни по формуле:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ $$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 5: Найдём соответствующие значения y

$$y_1 = 4 — x_1 = 4 — 1 = 3, \quad y_2 = 4 — x_2 = 4 — 3 = 1$$

Шаг 6: Проверка области определения

Так как в уравнении используется логарифм:

$$\log_3 x + \log_3 y$$

логарифмы определены только при положительных $x > 0$ и $y > 0$

Оба найденных решения:

• $x = 1,\ y = 3$
• $x = 3,\ y = 1$

удовлетворяют области определения.

Ответ:

$$(1;\ 3);\ (3;\ 1)$$

Задача б

Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81 \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases}$$

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Дано:

$$9^x \cdot 3^y = 81$$

Представим всё через основание 3:

• $9 = 3^2 \Rightarrow 9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$
• $81 = 3^4$

Тогда:

$$3^{2x} \cdot 3^y = 3^4$$

Свойство степеней:

$$3^{2x + y} = 3^4$$

Равенство оснований даёт:

$$2x + y = 4$$

Шаг 2: Выразим y через x

$$y = 4 — 2x$$

Шаг 3: Подставим y = 4 — 2x во второе уравнение

Второе уравнение:

$$\log_2 x + \log_2 y = 1$$

Подставим:

$$\log_2 x + \log_2 (4 — 2x) = 1$$

Свойство логарифмов:

$$\log_2 (x(4 — 2x)) = 1$$ $$x(4 — 2x) = 2^1 = 2$$

Шаг 4: Раскроем скобки и решим уравнение

$$x(4 — 2x) = 2$$ $$4x — 2x^2 = 2$$

Переносим всё в одну сторону:

$$-2x^2 + 4x — 2 = 0$$

Умножим обе части на -1 (для удобства):

$$2x^2 — 4x + 2 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 — 2x + 1 = 0$$

Это полный квадрат:

$$(x — 1)^2 = 0$$ $$x = 1$$

Шаг 5: Найдём y

$$y = 4 — 2x = 4 — 2 \cdot 1 = 2$$

Шаг 6: Проверка области определения

$$\log_2 x + \log_2 y$$

логарифмы определены только при $x > 0$, $y > 0$

Получили:

• $x = 1 > 0$
• $y = 2 > 0$

Ограничения выполняются.

Ответ:

$$(1;\ 2)$$