ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

$${\log }_x(3x-\sqrt{18})+{\log }_{x^2}(6+x\sqrt{72}+3x^2)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$$

Решить уравнение:

$${\log }_x(3x-\sqrt{18})+{\log }_{x^2}(6+x\sqrt{72}+3x^2)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2};$$

$$$$$${\log }_x(3\cdot (x-\sqrt{2}))+{\log }_{x^2}(3\cdot (x^2+2x\sqrt{2}+2))={\log }_{x^2}27x^2;$$

$$$$$${\log }_x(3\cdot (x-\sqrt{2}))+{\log }_{x^2}(3\cdot (x+\sqrt{2}{)}^2)={\log }_{x}3x\sqrt{3};$$

$$$$$${\log }_x(3\cdot (x-\sqrt{2}))+{\log }_x(\sqrt{3}\cdot (x+\sqrt{2}))={\log }_{x}3x\sqrt{3};$$

$$$$$${\log }_x(3(x-\sqrt{2})\cdot \sqrt{3}(x+\sqrt{2}))={\log }_{x}3x\sqrt{3};$$

$$$$$$3\sqrt{3}(x^2-2)=3x\sqrt{3};$$

$$$$$$x^2-2=x;$$

$$$$$$x^2-x-2=0;$$

$$$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{ тогда:}$$

$$$$$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{1+3}{2}=2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-\sqrt{2}>0\Rightarrow x>\sqrt{2};$$

$$$$$$x+\sqrt{2}>0\Rightarrow x>-\sqrt{2};$$

Ответ: 2.

Решить уравнение:

$${\log }_x(3x-\sqrt{18})+{\log }_{x^2}(6+x\sqrt{72}+3x^2)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$$

Шаг 1: Упростим подлогарифмические выражения

Упростим корни:

• $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$
• $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

Подставим в выражение:

$${\log }_x(3x-3\sqrt{2})+{\log }_{x^2}(6+6x\sqrt{2}+3x^2)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

$$\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}={\log }_{x^2}(27x^2)$$

Пояснение:
Свойство логарифмов:

$$\frac{\lg A}{\lg B}={\log }_{B}A$$

Значит, уравнение становится:

$${\log }_x(3x-3\sqrt{2})+{\log }_{x^2}(6+6x\sqrt{2}+3x^2)={\log }_{x^2}(27x^2)$$

Шаг 3: Вынесем множители

Первый логарифм:

$${\log }_x(3x-3\sqrt{2})={\log }_x[3(x-\sqrt{2})]$$

Второй логарифм:

$$6+6x\sqrt{2}+3x^2=3(x^2+2x\sqrt{2}+2)$$

Заметим:

$$x^2+2x\sqrt{2}+2=(x+\sqrt{2}{)}^2$$

Значит:

$${\log }_{x^2}(6+6x\sqrt{2}+3x^2)={\log }_{x^2}[3(x+\sqrt{2}{)}^2]$$

Шаг 4: Используем свойства логарифмов

$${\log }_x[3(x-\sqrt{2})]={\log }_{x}3+{\log }_x(x-\sqrt{2})$$$${\log }_{x^2}[3(x+\sqrt{2}{)}^2]={\log }_{x^2}3+{\log }_{x^2}(x+\sqrt{2}{)}^2$$

Свойство:

$${\log }_b(a^n)=n{\log }_{b}a\Rightarrow {\log }_{x^2}(x+\sqrt{2}{)}^2=2{\log }_{x^2}(x+\sqrt{2})$$

Также:

$${\log }_{x^2}A=\frac{1}{2}{\log }_{x}A$$

Применим:

• ${\log }_{x^2}3=\frac{1}{2}{\log }_{x}3$
• $2{\log }_{x^2}(x+\sqrt{2})=2\cdot \frac{1}{2}{\log }_x(x+\sqrt{2})={\log }_x(x+\sqrt{2})$

Итак, второй логарифм:

$${\log }_{x^2}[3(x+\sqrt{2}{)}^2]=\frac{1}{2}{\log }_{x}3+{\log }_x(x+\sqrt{2})$$

Шаг 5: Подставим всё в уравнение

Левая часть:

$${\log }_{x}3+{\log }_x(x-\sqrt{2})+\frac{1}{2}{\log }_{x}3+{\log }_x(x+\sqrt{2})$$

Сложим:

$$({\log }_{x}3+\frac{1}{2}{\log }_{x}3)=\frac{3}{2}{\log }_{x}3$$

Полная левая часть:

$$\frac{3}{2}{\log }_{x}3+{\log }_x(x-\sqrt{2})+{\log }_x(x+\sqrt{2})$$

Используем свойство:

$${\log }_{x}a+{\log }_{x}b={\log }_x(ab)$$

Получим:

$${\log }_x[(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})]={\log }_x(x^2-2)$$

Тогда:

$$\frac{3}{2}{\log }_{x}3+{\log }_x(x^2-2)$$

Шаг 6: Правая часть

Ранее мы установили:

$${\log }_{x^2}(27x^2)=\frac{1}{2}{\log }_x(27x^2)$$

Разложим:

$${\log }_x(27x^2)={\log }_{x}27+{\log }_x{x}^2={\log }_x{3}^3+2{\log }_{x}x=3{\log }_{x}3+2$$

Значит:

$$\frac{1}{2}(3{\log }_{x}3+2)=\frac{3}{2}{\log }_{x}3+1$$

Шаг 7: Приравниваем обе части

Левая:

$$\frac{3}{2}{\log }_{x}3+{\log }_x(x^2-2)$$

Правая:

$$\frac{3}{2}{\log }_{x}3+1$$

Вычтем $\frac{3}{2}{\log }_{x}3$ из обеих сторон:

$${\log }_x(x^2-2)=1$$

Шаг 8: Переход от логарифма к уравнению

$${\log }_x(x^2-2)=1\Rightarrow x^2-2=x\Rightarrow x^2-x-2=0$$

Решим:

$$D=(-1{)}^2+4\cdot 1\cdot 2=1+8=9\Rightarrow \sqrt{D}=3$$$$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,x_2=\frac{1+3}{2}=2$$

Шаг 9: Проверка ОДЗ

Условия существования логарифмов:

1. ${\log }_x(3x-\sqrt{18})\Rightarrow 3x-3\sqrt{2}>0\Rightarrow x>\sqrt{2}\approx 1.41$
2. Основание логарифма $x>0,x\mathrm{\ne }1$
3. $x+\sqrt{2}>0\Rightarrow x>-\sqrt{2}\approx -1.41$

Проверим корни:

• $x=-1$ — не подходит, так как $x<\sqrt{2}$, и также ${\log }_{-1}$ не определён
• $x=2$ — подходит, так как:
  • $x>\sqrt{2}$
  • $x>0$
  • $x\mathrm{\ne }1$

Окончательный ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$