ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_2(x^2 + 7x — 5) = \log_2(4x — 1)$;

б) $\log_{0{,}3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0{,}3}(10x — 7)$;

в) $\log_2(x^2 + x — 1) = \log_2(-x + 7)$;

г) $\log_{0{,}2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0{,}2}(-x — 31)$

Решить уравнение:

а) $\log_2(x^2 + 7x — 5) = \log_2(4x — 1)$;
$x^2 + 7x — 5 = 4x — 1$;
$x^2 + 3x — 4 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$;

Выражение имеет смысл при:
$4x — 1 > 0$;
$4x > 1$;
$x > 0{,}25$;
Ответ: 1.

б) $\log_{0{,}3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0{,}3}(10x — 7)$;
$-x^2 + 5x + 7 = 10x — 7$;
$x^2 + 5x — 14 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81$, тогда:
$x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:
$10x — 7 > 0$;
$10x > 7$;
$x > 0{,}7$;
Ответ: 2.

в) $\log_2(x^2 + x — 1) = \log_2(-x + 7)$;
$x^2 + x — 1 = -x + 7$;
$x^2 + 2x — 8 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:
$-x + 7 > 0$;
$x < 7$;
Ответ: -4; 2.

г) $\log_{0{,}2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0{,}2}(-x — 31)$;
$-x^2 + 4x + 5 = -x — 31$;
$x^2 — 5x — 36 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 13}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9$;

Выражение имеет смысл при:
$-x — 31 > 0$;
$x < -31$;
Ответ: корней нет.

а) $\log_2(x^2 + 7x — 5) = \log_2(4x — 1)$

Шаг 1. Обе части уравнения — логарифмы по одному и тому же основанию, поэтому приравниваем подлогарифмические выражения:

$$x^2 + 7x — 5 = 4x — 1$$

Шаг 2. Переносим все члены в одну сторону:

$$x^2 + 7x — 5 — 4x + 1 = 0$$ $$x^2 + 3x — 4 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 + 3x — 4 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 — 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
Подлогарифмические выражения должны быть положительными:

1. $4x — 1 > 0 \Rightarrow 4x > 1 \Rightarrow x > 0{,}25$
2. $x^2 + 7x — 5 > 0$ — можно не проверять отдельно, если значения из корней удовлетворяют первому условию.

Проверяем корни:

• $x = -4$: не удовлетворяет $x > 0{,}25$ → не подходит
• $x = 1$: удовлетворяет $x > 0{,}25$ → подходит

Ответ: 1

б) $\log_{0{,}3}(-x^2 + 5x + 7) = \log_{0{,}3}(10x — 7)$

Шаг 1. Приравниваем подлогарифмические выражения:

$$-x^2 + 5x + 7 = 10x — 7$$

Шаг 2. Переносим все в левую часть:

$$-x^2 + 5x + 7 — 10x + 7 = 0$$ $$-x^2 — 5x + 14 = 0$$

Умножим обе части уравнения на -1 (знак поменяется):

$$x^2 + 5x — 14 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81$$ $$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 — 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 4. ОДЗ:
Подлогарифмические выражения должны быть положительными:

1. $10x — 7 > 0 \Rightarrow x > 0{,}7$
2. $-x^2 + 5x + 7 > 0$ — не обязательно проверять полностью, если корень удовлетворяет первому неравенству.

Проверяем корни:

• $x = -7$: не удовлетворяет $x > 0{,}7$ → не подходит
• $x = 2$: удовлетворяет $x > 0{,}7$ → подходит

Ответ: 2

в) $\log_2(x^2 + x — 1) = \log_2(-x + 7)$

Шаг 1. Приравниваем подлогарифмические выражения:

$$x^2 + x — 1 = -x + 7$$

Шаг 2. Переносим всё в левую часть:

$$x^2 + x — 1 + x — 7 = 0$$ $$x^2 + 2x — 8 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 — 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 4. ОДЗ:

1. $-x + 7 > 0 \Rightarrow x < 7$
2. $x^2 + x — 1 > 0$ — не обязательно проверять полностью, если корень удовлетворяет первому.

Проверяем:

• $x = -4$: $-(-4) + 7 = 4 + 7 = 11 > 0$ → подходит
• $x = 2$: $-2 + 7 = 5 > 0$ → подходит

Ответ: -4; 2

г) $\log_{0{,}2}(-x^2 + 4x + 5) = \log_{0{,}2}(-x — 31)$

Шаг 1. Приравниваем подлогарифмические выражения:

$$-x^2 + 4x + 5 = -x — 31$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону:

$$-x^2 + 4x + 5 + x + 31 = 0$$ $$-x^2 + 5x + 36 = 0$$

Умножим на -1:

$$x^2 — 5x — 36 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169$$ $$x_1 = \frac{5 — 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 4. ОДЗ:

$-x — 31 > 0 \Rightarrow -x > 31 \Rightarrow x < -31$

Проверим корни:

• $x = -4$: не удовлетворяет $x < -31$ → не подходит
• $x = 9$: не удовлетворяет $x < -31$ → не подходит

Оба корня не входят в область допустимых значений.

Ответ: корней нет