ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_2^2 x — 4\log_2 x + 3 = 0$;

б) $\log_4^2 x — \log_4 x — 2 = 0$;

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$;
г) $\log_{0{,}2}^2 x + \log_{0{,}2} x — 6 = 0$

Решить уравнение:

а) $\log_2^2 x — 4\log_2 x + 3 = 0$;
Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$y^2 — 4y + 3 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;
Первое значение:
$\log_2 x = 1$;
$x = 2^1 = 2$;
Второе значение:
$\log_2 x = 3$;
$x = 2^3 = 8$;
Ответ: 2; 8.

б) $\log_4^2 x — \log_4 x — 2 = 0$;
Пусть $y = \log_4 x$, тогда:
$y^2 — y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;
Первое значение:
$\log_4 x = -1$;
$x = 4^{-1} = 0{,}25$;
Второе значение:
$\log_4 x = 2$;
$x = 4^2 = 16$;
Ответ: 0,25; 16.

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$;
Пусть $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, тогда:
$y^2 + 3y + 2 = 0$;
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$;
Первое значение:
$\log_{\frac{1}{2}} x = -2$;
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$;
Второе значение:
$\log_{\frac{1}{2}} x = -1$;
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$;
Ответ: 2; 4.

г) $\log_{0{,}2}^2 x + \log_{0{,}2} x — 6 = 0$;
Пусть $y = \log_{0{,}2} x$, тогда:
$y^2 + y — 6 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;
Первое значение:
$\log_{0{,}2} x = -3$;
$x = (0{,}2)^{-3} = 125$;
Второе значение:
$\log_{0{,}2} x = 2$;
$x = (0{,}2)^2 = 0{,}04$;
Ответ: 0,04; 125.

а) $\log_2^2 x — 4\log_2 x + 3 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_2 x$

Шаг 2. Подставим это обозначение в уравнение:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_2 x = 1$, то

$$x = 2^1 = 2$$

Если $\log_2 x = 3$, то

$$x = 2^3 = 8$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:
Логарифм определён только при $x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: 2; 8

б) $\log_4^2 x — \log_4 x — 2 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_4 x$

Шаг 2. Подставим:

$$y^2 — y — 2 = 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_4 x = -1$, то

$$x = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Если $\log_4 x = 2$, то

$$x = 4^2 = 16$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:
Логарифм определён при $x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: 0,25; 16

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Шаг 2. Подставим:

$$y^2 + 3y + 2 = 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-3 — 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$y_2 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_{\frac{1}{2}} x = -2$, то

$$x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4$$

Если $\log_{\frac{1}{2}} x = -1$, то

$$x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:
Логарифм определён при $x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: 2; 4

г) $\log_{0{,}2}^2 x + \log_{0{,}2} x — 6 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_{0{,}2} x$

Шаг 2. Подставим:

$$y^2 + y — 6 = 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_{0{,}2} x = -3$, то

$$x = (0{,}2)^{-3} = \frac{1}{(0{,}2)^3} = \frac{1}{0{,}008} = 125$$

Если $\log_{0{,}2} x = 2$, то

$$x = (0{,}2)^2 = 0{,}04$$

Шаг 6. Проверка ОДЗ:
Логарифм определён при $x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: 0,04; 125