ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 = 0$;

б) $3 \log_4^2 x — 7 \log_4 x + 2 = 0$;

в) $2 \log_{0{,}3}^2 x — 7 \log_{0{,}3} x — 4 = 0$;

г) $3 \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x — 2 = 0$

Решить уравнение:

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 = 0$;

Пусть $y = \log_5 x$, тогда:
$2y^2 + 5y + 2 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$;
$y_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$;

Первое значение:
$\log_5 x = -2$;
$x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$;

Второе значение:
$\log_5 x = -\frac{1}{2}$;
$x = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$;

Ответ: $\frac{1}{25}; \frac{1}{\sqrt{5}}$

б) $3 \log_4^2 x — 7 \log_4 x + 2 = 0$;

Пусть $y = \log_4 x$, тогда:
$3y^2 — 7y + 2 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;
$y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;

Первое значение:
$\log_4 x = \frac{1}{3}$;
$x = 4^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4}$;

Второе значение:
$\log_4 x = 2$;
$x = 4^2 = 16$;

Ответ: $\sqrt[3]{4}; 16$.

в) $2 \log_{0{,}3}^2 x — 7 \log_{0{,}3} x — 4 = 0$;

Пусть $y = \log_{0{,}3} x$, тогда:
$2y^2 — 7y — 4 = 0$;

$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81$, тогда:
$y_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$;
$y_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$;

Первое значение:
$\log_{0{,}3} x = -\frac{1}{2}$;
$x = (0{,}3)^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$;

Второе значение:
$\log_{0{,}3} x = 4$;
$x = (0{,}3)^4 = 0{,}0081$;

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{3}; 0{,}0081$.

г) $3 \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x — 2 = 0$;

Пусть $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, тогда:
$3y^2 + 5y — 2 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6} = -2$;
$y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;

Первое значение:
$\log_{\frac{1}{2}} x = -2$;
$x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4$;

Второе значение:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3}$;
$x = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$;

Ответ: $4; \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 = 0$

Шаг 1. Введём замену:
Обозначим $y = \log_5 x$, тогда уравнение примет вид:

$$2y^2 + 5y + 2 = 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Шаг 3. Найдём корни по формуле:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4. Вернёмся к переменной $x$:
Если $\log_5 x = -2$, то

$$x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$$

Если $\log_5 x = -\frac{1}{2}$, то

$$x = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Шаг 5. ОДЗ:
Логарифм определён при $x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: $\frac{1}{25}; \frac{1}{\sqrt{5}}$

б) $3 \log_4^2 x — 7 \log_4 x + 2 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_4 x$

Шаг 2. Получаем уравнение:

$$3y^2 — 7y + 2 = 0$$

Шаг 3. Вычислим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$

Шаг 5. Вернёмся к $x$:
Если $\log_4 x = \frac{1}{3}$, то

$$x = 4^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4}$$

Если $\log_4 x = 2$, то

$$x = 4^2 = 16$$

Шаг 6. ОДЗ:
$x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: $\sqrt[3]{4}; 16$

в) $2 \log_{0{,}3}^2 x — 7 \log_{0{,}3} x — 4 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_{0{,}3} x$

Шаг 2. Получаем:

$$2y^2 — 7y — 4 = 0$$

Шаг 3. Вычислим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$$

Шаг 5. Вернёмся к $x$:
Если $\log_{0{,}3} x = -\frac{1}{2}$, то

$$x = (0{,}3)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0{,}3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$$

Если $\log_{0{,}3} x = 4$, то

$$x = (0{,}3)^4 = 0{,}0081$$

Шаг 6. Проверим ОДЗ:
$x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{3}; 0{,}0081$

г) $3 \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x — 2 = 0$

Шаг 1. Обозначим:
$y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Шаг 2. Получаем:

$$3y^2 + 5y — 2 = 0$$

Шаг 3. Вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$$ $$y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Шаг 5. Вернёмся к $x$:
Если $\log_{\frac{1}{2}} x = -2$, то

$$x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4$$

Если $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3}$, то

$$x = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$

Шаг 6. ОДЗ:
$x > 0$, оба значения положительные.

Ответ: $4; \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$