ГДЗ 10-11 Класс Номер 44.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2 \log_8 x = \log_8 2{,}5 + \log_8 10$;

б) $3 \log_2 \frac{1}{2} — \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$;

в) $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3$;

г) $4 \log_{0{,}1} x = \log_{0{,}1} 2 + \log_{0{,}1} 8$

Решить уравнение:

а) $2 \log_8 x = \log_8 2{,}5 + \log_8 10$;
$\log_8 x^2 = \log_8 (2{,}5 \cdot 10)$;
$x^2 = 25$;
$x = \sqrt{25} = 5$;
Ответ: 5.

б) $3 \log_2 \frac{1}{2} — \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$;
$\log_2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 — \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$;
$\log_2 \left( \frac{1}{8} : \frac{1}{32} \right) = \log_2 x$;
$x = \frac{32}{8} = 4$;
Ответ: 4.

в) $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3$;
$\log_{\frac{1}{7}} x^3 = \log_{\frac{1}{7}} (9 \cdot 3)$;
$x^3 = 27$;
$x = \sqrt[3]{27} = 3$;
Ответ: 3.

г) $4 \log_{0{,}1} x = \log_{0{,}1} 2 + \log_{0{,}1} 8$;
$\log_{0{,}1} x^4 = \log_{0{,}1} (2 \cdot 8)$;
$x^4 = 16$;
$x = \sqrt[4]{16} = 2$;
Ответ: 2.

а) $2 \log_8 x = \log_8 2{,}5 + \log_8 10$

Шаг 1. Используем свойство:

$$a \log_b x = \log_b(x^a)$$

Применим его к левой части:

$$2 \log_8 x = \log_8(x^2)$$

Шаг 2. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$$\log_b a + \log_b c = \log_b(a \cdot c)$$

Правая часть:

$$\log_8 2{,}5 + \log_8 10 = \log_8(2{,}5 \cdot 10) = \log_8 25$$

Шаг 3. Получили уравнение:

$$\log_8(x^2) = \log_8 25$$

Шаг 4. Равенство логарифмов с одинаковым основанием → равенство аргументов:

$$x^2 = 25$$

Шаг 5. Извлекаем корень:

$$x = \sqrt{25} = 5$$

(Отрицательное значение не подходит, так как логарифм определён только при $x > 0$)

Ответ: 5

б) $3 \log_2 \frac{1}{2} — \log_2 \frac{1}{32} = \log_2 x$

Шаг 1. Используем свойство:

$$a \log_b x = \log_b(x^a)$$

Тогда:

$$3 \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right) = \log_2 \frac{1}{8}$$

Шаг 2. Преобразуем выражение:

$$\log_2 \frac{1}{8} — \log_2 \frac{1}{32}$$

Шаг 3. Используем свойство:

$$\log_b a — \log_b c = \log_b \left( \frac{a}{c} \right)$$ $$\log_2 \left( \frac{1/8}{1/32} \right) = \log_2 \left( \frac{32}{8} \right) = \log_2 4$$

Шаг 4. Тогда уравнение становится:

$$\log_2 x = \log_2 4 \Rightarrow x = 4$$

Ответ: 4

в) $3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3$

Шаг 1. Левая часть:

$$3 \log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}}(x^3)$$

Шаг 2. Правая часть:

$$\log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3 = \log_{\frac{1}{7}}(9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}} 27$$

Шаг 3. Приравниваем:

$$\log_{\frac{1}{7}} x^3 = \log_{\frac{1}{7}} 27 \Rightarrow x^3 = 27$$

Шаг 4. Извлекаем кубический корень:

$$x = \sqrt[3]{27} = 3$$

Ответ: 3

г) $4 \log_{0{,}1} x = \log_{0{,}1} 2 + \log_{0{,}1} 8$

Шаг 1. Левая часть:

$$4 \log_{0{,}1} x = \log_{0{,}1}(x^4)$$

Шаг 2. Правая часть:

$$\log_{0{,}1} 2 + \log_{0{,}1} 8 = \log_{0{,}1}(2 \cdot 8) = \log_{0{,}1} 16$$

Шаг 3. Приравниваем:

$$\log_{0{,}1} x^4 = \log_{0{,}1} 16 \Rightarrow x^4 = 16$$

Шаг 4. Извлекаем четвёртый корень:

$$x = \sqrt[4]{16} = 2$$

(Только положительное значение, так как логарифм определён при $x > 0$)

Ответ: 2