ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) ${\log }_{2}x\ge 4$;

б) ${\log }_{2}x\le -3$;

в) ${\log }_{2}x<\frac{1}{2}$;

г) ${\log }_{2}x>-\frac{1}{2}$

Решить неравенство:

а) ${\log }_{2}x\ge 4$;
${\log }_{2}x\ge {\log }_2{2}^4$;
$x\ge 16$;
Ответ: $x\in [16;+\mathrm{\infty })$.

б) ${\log }_{2}x\le -3$;
${\log }_{2}x\le {\log }_2{2}^{-3}$;
$0<x\le \frac{1}{8}$;
Ответ: $x\in (0;\frac{1}{8}]$.

в) ${\log }_{2}x<\frac{1}{2}$;
${\log }_{2}x<{\log }_2{2}^{\frac{1}{2}}$;
$0<x<\sqrt{2}$;
Ответ: $x\in (0;\sqrt{2})$.

г) ${\log }_{2}x>-\frac{1}{2}$;
${\log }_{2}x>{\log }_2{2}^{-\frac{1}{2}}$;
$x>\frac{1}{\sqrt{2}}$;
Ответ: $x\in (\frac{1}{\sqrt{2}};+\mathrm{\infty })$.

а) ${\log }_{2}x\ge 4$

Шаг 1. Логарифмическое неравенство задано с основанием $2>1$, значит функция ${\log }_{2}x$ возрастает.
А это означает, что знак неравенства сохраняется при переходе от логарифма к подлогарифмическому выражению.

Шаг 2. Представим 4 как логарифм по тому же основанию:

$${\log }_{2}x\ge 4={\log }_2{2}^4$$

Шаг 3. Так как основания логарифмов равны, и логарифмическая функция возрастающая:

$$x\ge 2^4=16$$

Шаг 4. Не забудем про область определения:

$$x>0$$

И это условие уже учтено в решении $x\ge 16$, так как 16 > 0.

Ответ:

$$x\in [16;+\mathrm{\infty })$$

б) ${\log }_{2}x\le -3$

Шаг 1. Основание логарифма по-прежнему $2>1$, логарифмическая функция возрастающая ⇒ знак неравенства сохраняется.

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

$$-3={\log }_2{2}^{-3}\Rightarrow {\log }_{2}x\le {\log }_2{2}^{-3}$$

Шаг 3. Переходим к подлогарифмическому выражению:

$$x\le 2^{-3}=\frac{1}{8}$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ логарифма:

$$x>0$$

Итоговое условие:

$$0<x\le \frac{1}{8}$$

Ответ:

$$x\in (0;\frac{1}{8}]$$

в) ${\log }_{2}x<\frac{1}{2}$

Шаг 1. Основание $2>1$ ⇒ логарифм возрастает ⇒ знак сохраняется.

Шаг 2. Представим $\frac{1}{2}$ как логарифм:

$$\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{1\mathrm{/}2}\Rightarrow {\log }_{2}x<{\log }_2{2}^{1\mathrm{/}2}$$

Шаг 3. Переходим к подлогарифмическому выражению:

$$x<2^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{2}$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ:

$$x>0$$

Итоговое условие:

$$0<x<\sqrt{2}$$

Ответ:

$$x\in (0;\sqrt{2})$$

г) ${\log }_{2}x>-\frac{1}{2}$

Шаг 1. Основание $2>1$, логарифм возрастает ⇒ знак сохраняется.

Шаг 2. Представим правую часть:

$$-\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{-1\mathrm{/}2}\Rightarrow {\log }_{2}x>{\log }_2{2}^{-1\mathrm{/}2}$$

Шаг 3. Переход к подлогарифмическому выражению:

$$x>2^{-1\mathrm{/}2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ:

$$x>0$$

Это условие уже учтено.

Ответ:

$$x\in (\frac{1}{\sqrt{2}};+\mathrm{\infty })$$