ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 \geq 0$;

б) $2 \log_{0.3}^2 x — 7 \log_{0.3} x — 4 \leq 0$;

в) $3 \log_4^2 x — 7 \log_4 x + 2 < 0$;

г) $3 \log_{\frac{1}{3}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{3}} x — 2 > 0$

Решить неравенство:

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 \geq 0$;

Пусть $y = \log_5 x$, тогда:
$2y^2 + 5y + 2 \geq 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$;
$y_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$;
$(y + 2)\left(y + \frac{1}{2}\right) \geq 0$;
$y \leq -2$ или $y \geq -\frac{1}{2}$;

Первое значение:
$\log_5 x \leq -2$;
$0 < x \leq 0,04$;

Второе значение:
$\log_5 x \geq -\frac{1}{2}$;
$x \geq \frac{1}{\sqrt{5}}$;

Ответ: $x \in (0; 0,04] \cup \left[\frac{1}{\sqrt{5}}; +\infty\right)$.

б) $2 \log_{0.3}^2 x — 7 \log_{0.3} x — 4 \leq 0$;

Пусть $y = \log_{0.3} x$, тогда:
$2y^2 — 7y — 4 \leq 0$;
$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81$, тогда:
$y_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$;
$y_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$;
$\left(y + \frac{1}{2}\right)(y — 4) \leq 0$;
$-\frac{1}{2} \leq y \leq 4$;

Первое значение:
$\log_{0.3} x \geq -\frac{1}{2}$;
$0 < x \leq \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$;
$0 < x \leq \frac{\sqrt{30}}{3}$;

Второе значение:
$\log_{0.3} x \leq 4$;
$x \geq 0,0081$;

Ответ: $x \in \left[0,0081; \frac{\sqrt{30}}{3}\right]$.

в) $3 \log_4^2 x — 7 \log_4 x + 2 < 0$;

Пусть $y = \log_4 x$, тогда:
$3y^2 — 7y + 2 < 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;
$y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;
$\left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 2) < 0$;
$\frac{1}{3} < y < 2$;

Первое значение:
$\log_4 x > \frac{1}{3}$;
$x > \sqrt[3]{4}$;

Второе значение:
$\log_4 x < 2$;
$0 < x < 16$;

Ответ: $x \in (\sqrt[3]{4}; 16)$.

г) $3 \log_{\frac{1}{3}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{3}} x — 2 > 0$;

Пусть $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, тогда:
$3y^2 + 5y — 2 > 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6} = -2$;
$y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;
$(y + 2)\left(y — \frac{1}{3}\right) > 0$;
$y < -2$ или $y > \frac{1}{3}$;

Первое значение:
$\log_{\frac{1}{3}} x < -2$;
$x > 9$;

Второе значение:
$\log_{\frac{1}{3}} x > \frac{1}{3}$;
$0 < x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$;

Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right) \cup (9; +\infty)$.

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 \geq 0$

Шаг 1. Обозначим $y = \log_5 x$, чтобы упростить выражение. Тогда неравенство примет вид:

$$2y^2 + 5y + 2 \geq 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена:

$$D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4. Решим неравенство $2y^2 + 5y + 2 \geq 0$ методом интервалов.

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $y^2$ положителен ($2 > 0$). Значит, выражение положительно или равно нулю вне корней:

$$y \leq -2 \quad \text{или} \quad y \geq -\frac{1}{2}$$

Шаг 5. Вернёмся к переменной $x$. Мы рассматривали замену $y = \log_5 x$, поэтому:

Если $\log_5 x \leq -2$, то:

$$x \leq 5^{-2} = \frac{1}{25} = 0{,}04$$

Поскольку логарифм определён только при $x > 0$, получаем:

$$0 < x \leq 0{,}04$$

Если $\log_5 x \geq -\frac{1}{2}$, то:

$$x \geq 5^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Ответ: $x \in (0; 0{,}04] \cup \left[\frac{1}{\sqrt{5}}; +\infty\right)$

б) $2 \log_{0.3}^2 x — 7 \log_{0.3} x — 4 \leq 0$

Шаг 1. Обозначим $y = \log_{0.3} x$

Тогда неравенство примет вид:

$$2y^2 — 7y — 4 \leq 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{7 — \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

Шаг 4. Решим неравенство:

$$2y^2 — 7y — 4 \leq 0 \Rightarrow (y + \frac{1}{2})(y — 4) \leq 0$$

Так как коэффициент при $y^2$ положительный, то выражение меньше либо равно нулю между корнями:

$$— \frac{1}{2} \leq y \leq 4$$

Шаг 5. Переход к $x$. Напомним: $y = \log_{0.3} x$

Заметим, что $0.3 < 1$, значит логарифмическая функция убывающая. Поэтому:

$\log_{0.3} x \geq -\frac{1}{2} \Rightarrow x \leq 0.3^{-1/2}$

$$0.3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0.3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$$

И также, $x > 0$, так как логарифм определён только для положительных $x$, значит:

$$0 < x \leq \frac{\sqrt{30}}{3}$$

$\log_{0.3} x \leq 4 \Rightarrow x \geq 0.3^4 = 0.0081$

Ответ: $x \in \left[0.0081; \frac{\sqrt{30}}{3} \right]$

в) $3 \log_4^2 x — 7 \log_4 x + 2 < 0$

Шаг 1. Обозначим $y = \log_4 x$

Получим неравенство:

$$3y^2 — 7y + 2 < 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{7 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Шаг 4. Решим неравенство:

$$3y^2 — 7y + 2 < 0 \Rightarrow \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 2) < 0$$

Так как коэффициент при $y^2$ положительный, парабола вверх, выражение меньше нуля между корнями:

$$\frac{1}{3} < y < 2$$

Шаг 5. Вернёмся к $x$, подставим $y = \log_4 x$

1. $\log_4 x > \frac{1}{3} \Rightarrow x > 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$
2. $\log_4 x < 2 \Rightarrow x < 4^2 = 16$

Также, область определения логарифма: $x > 0$

Ответ: $x \in (\sqrt[3]{4}; 16)$

г) $3 \log_{\frac{1}{3}}^2 x + 5 \log_{\frac{1}{3}} x — 2 > 0$

Шаг 1. Обозначим $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Неравенство примет вид:

$$3y^2 + 5y — 2 > 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 — 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ $$y_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$( y + 2 )( y — \frac{1}{3} ) > 0$$

Так как коэффициент при $y^2$ положительный, парабола вверх, выражение положительно вне корней:

$$y < -2 \quad \text{или} \quad y > \frac{1}{3}$$

Шаг 5. Вернёмся к $x$, подставим $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, функция убывает. Это важно для интерпретации неравенств.

1. $\log_{\frac{1}{3}} x < -2 \Rightarrow x > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$
2. $\log_{\frac{1}{3}} x > \frac{1}{3} \Rightarrow x < \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Также, $x > 0$

Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right) \cup (9; +\infty)$