ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_2^2 x^2 — 15 \log_2 x — 4 \leq 0$;

б) $\log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 — 7 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \leq 0$;

в) $\log_3^2 x^2 + 13 \log_3 x + 3 < 0$;

г) $\log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 — 31 \log_{\frac{1}{5}} x — 8 < 0$

Решить неравенство:

а) $\log_2^2 x^2 — 15 \log_2 x — 4 \leq 0$;
$2^2 \cdot \log_2^2 x — 15 \log_2 x — 4 \leq 0$;
Пусть $y = \log_2 x$, тогда:
$4y^2 — 15y — 4 \leq 0$;
$D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289$, тогда:
$y_1 = \dfrac{15 — 17}{2 \cdot 4} = -\dfrac{2}{8} = -\dfrac{1}{4}$;
$y_2 = \dfrac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \dfrac{32}{8} = 4$;
$\left(y + \dfrac{1}{4}\right)(y — 4) \leq 0$;
$-\dfrac{1}{4} \leq y \leq 4$;

Первое значение:
$\log_2 x \geq -\dfrac{1}{4}$;
$x \geq \sqrt[4]{0,5}$;

Второе значение:
$\log_2 x \leq 4$;
$0 < x \leq 16$;

Ответ: $x \in \left[\sqrt[4]{0,5};\ 16\right]$.

б) $\log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 — 7 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \leq 0$;
$2^2 \cdot \log_{\frac{1}{3}}^2 x — 7 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \leq 0$;
Пусть $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, тогда:
$4y^2 — 7y + 3 \leq 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1$, тогда:
$y_1 = \dfrac{7 — 1}{2 \cdot 4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$;
$y_2 = \dfrac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \dfrac{8}{8} = 1$;
$\left(y — \dfrac{3}{4}\right)(y — 1) \leq 0$;
$\dfrac{3}{4} \leq y \leq 1$;

Первое значение:
$\log_{\frac{1}{3}} x \geq \dfrac{3}{4}$;
$0 < x \leq \dfrac{1}{\sqrt[4]{27}}$;

Второе значение:
$\log_{\frac{1}{3}} x \leq 1$;
$x \geq \dfrac{1}{3}$;

Ответ: $x \in \left[\dfrac{1}{3};\ \dfrac{1}{\sqrt[4]{27}}\right]$.

в) $\log_3^2 x^2 + 13 \log_3 x + 3 < 0$;
$2^2 \cdot \log_3^2 x + 13 \log_3 x + 3 < 0$;
Пусть $y = \log_3 x$, тогда:
$4y^2 + 13y + 3 < 0$;
$D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 — 48 = 121$, тогда:
$y_1 = \dfrac{-13 — 11}{2 \cdot 4} = -\dfrac{24}{8} = -3$;
$y_2 = \dfrac{-13 + 11}{2 \cdot 4} = -\dfrac{2}{8} = -\dfrac{1}{4}$;
$(y + 3)\left(y + \dfrac{1}{4}\right) < 0$;
$-3 < y < -\dfrac{1}{4}$;

Первое значение:
$\log_3 x > -3$;
$x > \dfrac{1}{27}$;

Второе значение:
$\log_3 x < -\dfrac{1}{4}$;
$0 < x < \dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$;

Ответ: $x \in \left(\dfrac{1}{27};\ \dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)$.

г) $\log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 — 31 \log_{\frac{1}{5}} x — 8 < 0$;
$2^2 \cdot \log_{\frac{1}{5}}^2 x — 31 \log_{\frac{1}{5}} x — 8 < 0$;
Пусть $y = \log_{\frac{1}{5}} x$, тогда:
$4y^2 — 31y — 8 < 0$;
$D = 31^2 + 4 \cdot 4 \cdot 8 = 961 + 128 = 1\,089$, тогда:
$y_1 = \dfrac{31 — 33}{2 \cdot 4} = -\dfrac{2}{8} = -\dfrac{1}{4}$;
$y_2 = \dfrac{31 + 33}{2 \cdot 4} = \dfrac{64}{8} = 8$;
$\left(y + \dfrac{1}{4}\right)(y — 8) < 0$;
$-\dfrac{1}{4} < y < 8$;

Первое значение:
$\log_{\frac{1}{5}} x > -\dfrac{1}{4}$;
$0 < x < \sqrt{5}$;

Второе значение:
$\log_{\frac{1}{5}} x < 8$;
$x > \dfrac{1}{5^8}$;

Ответ: $x \in \left(\dfrac{1}{5^8};\ \sqrt[4]{5}\right)$.

а) $\log_2^2 x^2 — 15 \log_2 x — 4 \leq 0$

Шаг 1. Упростим логарифмическое выражение.

По формуле:

$$\log_b x^2 = 2 \log_b x$$

но здесь стоит:

$$\log_2^2 x^2 = \left( \log_2 x^2 \right)^2 = \left( 2 \log_2 x \right)^2 = 4 \log_2^2 x$$

Таким образом, перепишем неравенство:

$$4 \log_2^2 x — 15 \log_2 x — 4 \leq 0$$

Шаг 2. Введём замену:
Пусть $y = \log_2 x$, тогда неравенство становится:

$$4y^2 — 15y — 4 \leq 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена:

$$D = (-15)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-(-15) — \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 — 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ $$y_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4$$

Шаг 5. Решаем неравенство:

$$4y^2 — 15y — 4 \leq 0 \Rightarrow (y + \frac{1}{4})(y — 4) \leq 0$$

Так как старший коэффициент $4 > 0$, ветви параболы вверх. Тогда неравенство выполняется между корнями, включая границы:

$$— \frac{1}{4} \leq y \leq 4$$

Шаг 6. Возвращаемся к переменной $x$: $y = \log_2 x$

1. $\log_2 x \geq -\frac{1}{4} \Rightarrow x \geq 2^{-1/4} = \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$
2. $\log_2 x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2^4 = 16$

Также область определения: $x > 0$

Ответ:

$$x \in \left[ \sqrt[4]{\frac{1}{2}};\ 16 \right]$$

б) $\log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 — 7 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \leq 0$

Шаг 1. Преобразуем логарифмический квадрат:

$$\log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 = \left( \log_{\frac{1}{3}} x^2 \right)^2 = \left( 2 \log_{\frac{1}{3}} x \right)^2 = 4 \log_{\frac{1}{3}}^2 x$$

Итак, неравенство:

$$4 \log_{\frac{1}{3}}^2 x — 7 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \leq 0$$

Шаг 2. Обозначим $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, тогда:

$$4y^2 — 7y + 3 \leq 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{7 — 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ $$y_2 = \frac{7 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Шаг 5. Решаем неравенство:

$$( y — \frac{3}{4})( y — 1 ) \leq 0$$

Значит:

$$\frac{3}{4} \leq y \leq 1$$

Шаг 6. Возвращаемся к $x$, где $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Функция $\log_{\frac{1}{3}} x$ убывает, так как основание меньше 1. Это означает, что при переходе от неравенства к $x$, знак меняется:

1. $\log_{\frac{1}{3}} x \geq \frac{3}{4} \Rightarrow x \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{3/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$
2. $\log_{\frac{1}{3}} x \leq 1 \Rightarrow x \geq \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3}$

Ответ:

$$x \in \left[ \frac{1}{3};\ \frac{1}{\sqrt[4]{27}} \right]$$

в) $\log_3^2 x^2 + 13 \log_3 x + 3 < 0$

Шаг 1. Преобразуем:

$$\log_3^2 x^2 = \left( \log_3 x^2 \right)^2 = \left( 2 \log_3 x \right)^2 = 4 \log_3^2 x$$

Итак, неравенство:

$$4 \log_3^2 x + 13 \log_3 x + 3 < 0$$

Шаг 2. Введём замену: $y = \log_3 x$

Получаем:

$$4y^2 + 13y + 3 < 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = 13^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 — 48 = 121$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{-13 — \sqrt{121}}{8} = \frac{-13 — 11}{8} = \frac{-24}{8} = -3$$ $$y_2 = \frac{-13 + \sqrt{121}}{8} = \frac{-13 + 11}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$

Шаг 5. Решим неравенство:

$$(y + 3)(y + \frac{1}{4}) < 0 \Rightarrow -3 < y < -\frac{1}{4}$$

Шаг 6. Возвращаемся к переменной $x$

1. $\log_3 x > -3 \Rightarrow x > 3^{-3} = \frac{1}{27}$
2. $\log_3 x < -\frac{1}{4} \Rightarrow x < 3^{-1/4} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{1}{27};\ \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \right)$$

г) $\log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 — 31 \log_{\frac{1}{5}} x — 8 < 0$

Шаг 1. Преобразуем:

$$\log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 = \left( \log_{\frac{1}{5}} x^2 \right)^2 = \left( 2 \log_{\frac{1}{5}} x \right)^2 = 4 \log_{\frac{1}{5}}^2 x$$

Получаем неравенство:

$$4 \log_{\frac{1}{5}}^2 x — 31 \log_{\frac{1}{5}} x — 8 < 0$$

Шаг 2. Обозначим $y = \log_{\frac{1}{5}} x$

$$4y^2 — 31y — 8 < 0$$

Шаг 3. Найдём дискриминант:

$$D = (-31)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 961 + 128 = 1089$$

Шаг 4. Найдём корни:

$$y_1 = \frac{31 — 33}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$$ $$y_2 = \frac{31 + 33}{8} = \frac{64}{8} = 8$$

Шаг 5. Решим неравенство:

$$(y + \frac{1}{4})(y — 8) < 0 \Rightarrow -\frac{1}{4} < y < 8$$

Шаг 6. Возвращаемся к переменной $x$, где $y = \log_{\frac{1}{5}} x$

Основание $\frac{1}{5} < 1$, логарифм убывает ⇒ знак неравенства меняется при переходе:

1. $\log_{\frac{1}{5}} x > -\frac{1}{4} \Rightarrow x < \left( \frac{1}{5} \right)^{-1/4} = \sqrt[4]{5}$
2. $\log_{\frac{1}{5}} x < 8 \Rightarrow x > \left( \frac{1}{5} \right)^8 = \frac{1}{5^8}$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{1}{5^8};\ \sqrt[4]{5} \right)$$