ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

а) $\log_7(6x − 9) < \log_7(2x + 3)$;

б) $\log_{\frac{1}{5}}(2 − x) \geq \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4)$;

в) $\lg(8x − 16) < \lg(3x + 1)$;

г) $\log_{0{,}4}(7 − x) \geq \log_{0{,}4}(3x + 6)$

Найти наибольшее целочисленное решение неравенства:

а) $\log_7(6x − 9) < \log_7(2x + 3)$;
$6x − 9 < 2x + 3$;
$4x < 12$;
$x < 3$;

Выражение имеет смысл при:
$6x − 9 > 0$;
$6x > 9$;
$x > 1{,}5$;

Ответ: 2.

б) $\log_{\frac{1}{5}}(2 − x) \geq \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4)$;
$2 − x \leq 2x + 4$;
$3x \geq −2$;
$x \geq −\frac{2}{3}$;

Выражение имеет смысл при:
$2 − x > 0$;
$x < 2$;

Ответ: 1.

в) $\lg(8x − 16) < \lg(3x + 1)$;
$8x − 16 < 3x + 1$;
$5x < 17$;
$x < 3{,}4$;

Выражение имеет смысл при:
$8x − 16 > 0$;
$8x > 16$;
$x > 2$;

Ответ: 3.

г) $\log_{0{,}4}(7 − x) \geq \log_{0{,}4}(3x + 6)$;
$7 − x \leq 3x + 6$;
$4x \geq 1$;
$x \geq 0{,}25$;

Выражение имеет смысл при:
$7 − x > 0$;
$x < 7$;

Ответ: 6.

а)

$$\log_7(6x — 9) < \log_7(2x + 3)$$

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ)
Логарифмы определены только при положительном аргументе. Поэтому:

• $6x — 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{6} = 1{,}5$
• $2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}$

Так как оба условия должны выполняться, берём более строгое:
ОДЗ: $x > 1{,}5$

Шаг 2. Так как основание логарифма $7 > 1$, функция $\log_7 x$ возрастает, следовательно знак неравенства сохраняется:

$$6x — 9 < 2x + 3$$

Шаг 3. Решим неравенство:

$$6x — 2x < 3 + 9 \Rightarrow 4x < 12 \Rightarrow x < 3$$

Шаг 4. Учитывая ОДЗ $x > 1{,}5$ и условие $x < 3$, получаем:

$$1{,}5 < x < 3$$

Шаг 5. Среди всех целых чисел, попадающих в этот интервал, только одно число:

$$x = 2$$

Ответ: 2

б)

$$\log_{\frac{1}{5}}(2 — x) \geq \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4)$$

Шаг 1. Найдём ОДЗ:

• $2 — x > 0 \Rightarrow x < 2$
• $2x + 4 > 0 \Rightarrow x > -2$

Объединяя, получаем:
ОДЗ: $-2 < x < 2$

Шаг 2. Поскольку основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, функция убывает, значит знак меняется на противоположный:

$$2 — x \leq 2x + 4$$

Шаг 3. Решим неравенство:

$$— x — 2x \leq 4 — 2 \Rightarrow -3x \leq 2 \Rightarrow x \geq -\frac{2}{3}$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ:

$$-\frac{2}{3} \leq x < 2$$

Шаг 5. Целые значения на этом отрезке:

$$x = -0{,}666\ldots \text{ до } x < 2 \Rightarrow \text{целые: } -0, 0, 1$$

Наибольшее целое значение: $x = 1$

Ответ: 1

в)

$$\lg(8x — 16) < \lg(3x + 1)$$

Шаг 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
Логарифм десятичный ($\lg x$) определён при положительном аргументе:

• $8x — 16 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$

Совмещаем:
ОДЗ: $x > 2$

Шаг 2. Основание логарифма десятичного — 10, то есть больше 1 ⇒ функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$8x — 16 < 3x + 1$$

Шаг 3. Решим неравенство:

$$8x — 3x < 1 + 16 \Rightarrow 5x < 17 \Rightarrow x < 3{,}4$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ $x > 2$:

$$2 < x < 3{,}4$$

Шаг 5. Целые значения в этом интервале:

$$x = 3$$

Ответ: 3

г)

$$\log_{0{,}4}(7 — x) \geq \log_{0{,}4}(3x + 6)$$

Шаг 1. ОДЗ:

• $7 — x > 0 \Rightarrow x < 7$
• $3x + 6 > 0 \Rightarrow x > -2$

Объединяя:
ОДЗ: $-2 < x < 7$

Шаг 2. Основание логарифма $0{,}4 < 1$, следовательно функция убывает, а значит знак неравенства меняется на противоположный:

$$7 — x \leq 3x + 6$$

Шаг 3. Решим:

$$— x — 3x \leq 6 — 7 \Rightarrow -4x \leq -1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ:

$$0{,}25 \leq x < 7$$

Шаг 5. Целые значения:

$$x = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \Rightarrow \text{наибольшее целое: } x = 6$$

Ответ: 6