ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $\log_{12}(x^2 — x) \leq 1$;

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 10x + 9) \geq 0$;

в) $\log_9(x^2 — 8x) \leq 1$;

г) $\log_{0{,}3}(-x^2 + 7x — 5) < 0$

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $\log_{12}(x^2 — x) \leq 1$;
$x^2 — x \leq 12$;
$x^2 — x — 12 \leq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$;
$(x + 3)(x — 4) \leq 0$;
$-3 \leq x \leq 4$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — x > 0$;
$x(x — 1) > 0$;
$x < 0$ или $x > 1$;

Целочисленные решения:
$x = -3;\ -2;\ -1;\ 2;\ 3;\ 4$;
Ответ: 6.

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 10x + 9) \geq 0$;
$x^2 — 10x + 9 \leq 1$;
$x^2 — 10x + 8 \leq 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 8 = 100 — 32 = 68 = 4 \cdot 17$, тогда:
$x = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}$;
$\left(x — (5 — \sqrt{17})\right)\left(x — (5 + \sqrt{17})\right) \leq 0$;
$5 — \sqrt{17} \leq x \leq 5 + \sqrt{17}$;
$1 \leq x \leq 9$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 10x + 9 > 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$;
$(x — 1)(x — 9) > 0$;
$x < 1$ или $x > 9$;

Целочисленных решений нет;
Ответ: 0.

в) $\log_9(x^2 — 8x) \leq 1$;
$x^2 — 8x \leq 9$;
$x^2 — 8x — 9 \leq 0$;
$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100$, тогда:
$x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$;
$(x + 1)(x — 9) \leq 0$;
$-1 \leq x \leq 9$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 8x > 0$;
$x(x — 8) > 0$;
$x < 0$ или $x > 8$;

Целочисленные решения:
$x = -1;\ 9$;
Ответ: 2.

г) $\log_{0{,}3}(-x^2 + 7x — 5) < 0$;
$-x^2 + 7x — 5 > 1$;
$x^2 — 7x + 6 < 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$;
$(x — 1)(x — 6) < 0$;
$1 < x < 6$;

Целочисленные решения:
$x = 2;\ 3;\ 4;\ 5$;
Ответ: 4.

а)

$$\log_{12}(x^2 — x) \leq 1$$

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Логарифм определён только при положительном аргументе:

$$x^2 — x > 0 \Rightarrow x(x — 1) > 0$$

Это неравенство решается методом интервалов.
Корни: $x = 0$ и $x = 1$ — разбиваем ось на три промежутка:

• при $x < 0$, знак «+»
• при $0 < x < 1$, знак «−»
• при $x > 1$, знак «+»

Берём положительные значения:

$$x < 0 \quad \text{или} \quad x > 1$$

Шаг 2. Решим само логарифмическое неравенство:

Поскольку основание $12 > 1$, функция логарифма возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$x^2 — x \leq 12 \Rightarrow x^2 — x — 12 \leq 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

$$x^2 — x — 12 \leq 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Корни:

$$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3,\quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$$

Решение:

$$(x + 3)(x — 4) \leq 0 \Rightarrow -3 \leq x \leq 4$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ:

Из неравенства: $-3 \leq x \leq 4$
Из ОДЗ: $x < 0$ или $x > 1$

Значит, допустимые значения:

• Из промежутка $-3 \leq x < 0$: $x = -3, -2, -1$
• Из промежутка $1 < x \leq 4$: $x = 2, 3, 4$

Ответ:

Целых значений: 6

$$x = -3,\ -2,\ -1,\ 2,\ 3,\ 4$$

б)

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 10x + 9) \geq 0$$

Шаг 1. ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2 — 10x + 9 > 0$$

Найдём корни:

$$D = 100 — 36 = 64,\quad x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$ $$(x — 1)(x — 9) > 0 \Rightarrow x < 1\quad \text{или} \quad x > 9$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 10x + 9) \geq 0$$

Поскольку основание $\frac{1}{2} < 1$, функция убывает, поэтому знак меняется:

$$x^2 — 10x + 9 \leq 1 \Rightarrow x^2 — 10x + 8 \leq 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

$$x^2 — 10x + 8 \leq 0 \Rightarrow D = 100 — 32 = 68 = 4 \cdot 17$$

Корни:

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}$$

Это примерно:

$$\sqrt{17} \approx 4{,}12 \Rightarrow x \in (5 — 4{,}12;\ 5 + 4{,}12) \approx (0{,}88;\ 9{,}12)$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ:

ОДЗ: $x < 1$ или $x > 9$
Решение: $0{,}88 < x < 9{,}12$

Пересечения нет:
Решение и ОДЗ не пересекаются по целым числам.

Ответ:

Целочисленных решений — 0

в)

$$\log_9(x^2 — 8x) \leq 1$$

Шаг 1. ОДЗ:

$$x^2 — 8x > 0 \Rightarrow x(x — 8) > 0 \Rightarrow x < 0 \quad \text{или} \quad x > 8$$

Шаг 2. Решим неравенство:

Поскольку основание $9 > 1$, логарифм возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$x^2 — 8x \leq 9 \Rightarrow x^2 — 8x — 9 \leq 0$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$D = 64 + 36 = 100,\quad x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$$ $$(x + 1)(x — 9) \leq 0 \Rightarrow -1 \leq x \leq 9$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ:

• Из ОДЗ: $x < 0$ или $x > 8$
• Из решения: $x \in [-1; 9]$

Общее:

• $x = -1$ (из левой части)
• $x = 9$ (из правой части)

Ответ:

Целочисленных решений — 2

$$x = -1;\ 9$$

г)

$$\log_{0{,}3}(-x^2 + 7x — 5) < 0$$

Шаг 1. ОДЗ:

Аргумент логарифма положителен:

$$-x^2 + 7x — 5 > 0 \Rightarrow x^2 — 7x + 5 < 0$$

Решим это неравенство:

$$D = 49 — 20 = 29,\quad x \in \left( \frac{7 — \sqrt{29}}{2},\ \frac{7 + \sqrt{29}}{2} \right)$$

Это примерно:

$$\sqrt{29} \approx 5{,}38 \Rightarrow x \in (0{,}81;\ 6{,}19)$$

Шаг 2. Решим основное неравенство:

$$\log_{0{,}3}(-x^2 + 7x — 5) < 0$$

Так как основание меньше 1 ⇒ логарифм убывает, а значит знак меняется:

$$-x^2 + 7x — 5 > 1 \Rightarrow x^2 — 7x + 6 < 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

$$x^2 — 7x + 6 < 0 \Rightarrow D = 49 — 24 = 25 \Rightarrow x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$$

Значит:

$$x \in (1;\ 6)$$

Шаг 4. Совместим с ОДЗ:

• ОДЗ: $x \in (0{,}81;\ 6{,}19)$
• Решение: $x \in (1;\ 6)$

Общее:

$$x = 2, 3, 4, 5$$

Ответ:

Целочисленных решений — 4

$$x = 2,\ 3,\ 4,\ 5$$

Итоговые ответы:

а) 6

б) 0

в) 2

г) 4