ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

а)

$$\{\begin{array}{l}{\log }_2(2x+3)>{\log }_2(x-2)\\ {\log }_6(3x-1)\le {\log }_6(9x+4)\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{\log }_3(6x-1)\le {\log }_3(9x+11)\\ {\log }_6(3-x)>{\log }_6(4x-1)\end{array}$$

Решить систему неравенств:

а)

$$\begin{cases} \log_2(2x + 3) > \log_2(x — 2) \\ \log_6(3x — 1) \leq \log_6(9x + 4) \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\log_2(2x + 3) > \log_2(x — 2);$$ $$2x + 3 > x — 2;$$ $$x > -5;$$

Второе неравенство:

$$\log_6(3x — 1) \leq \log_6(9x + 4);$$ $$3x — 1 \leq 9x + 4;$$ $$6x \geq -5;$$ $$x \geq -\frac{5}{6};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2;$$ $$3x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{3};$$

Ответ: $x \in (2;\ +\infty)$.

б)

$$\begin{cases} \log_3(6x — 1) \leq \log_3(9x + 11) \\ \log_6(3 — x) > \log_6(4x — 1) \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\log_3(6x — 1) \leq \log_3(9x + 11);$$ $$6x — 1 \leq 9x + 11;$$ $$3x \geq -12;$$ $$x \geq -4;$$

Второе неравенство:

$$\log_6(3 — x) > \log_6(4x — 1);$$ $$3 — x > 4x — 1;$$ $$5x < 4;$$ $$x < 0{,}8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$6x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{6};$$ $$4x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0{,}25;$$

Ответ: $x \in (0{,}25;\ 0{,}8)$.

а)

$$\begin{cases} \log_2(2x + 3) > \log_2(x — 2) \\ \log_6(3x — 1) \leq \log_6(9x + 4) \end{cases}$$

Шаг 1: ОДЗ (область допустимых значений)

Логарифмы определены только при положительном аргументе. Поэтому:

1. $2x + 3 > 0$
   $\Rightarrow x > -\frac{3}{2}$
2. $x — 2 > 0$
   $\Rightarrow x > 2$
3. $3x — 1 > 0$
   $\Rightarrow x > \frac{1}{3}$
4. $9x + 4 > 0$
   $\Rightarrow x > -\frac{4}{9}$

Наиболее строгая граница из всех:

$$x > 2$$

Шаг 2: Первое неравенство

$$\log_2(2x + 3) > \log_2(x — 2)$$

Основание логарифма $2 > 1$, значит логарифмическая функция возрастает, поэтому знак сохраняется:

$$2x + 3 > x — 2$$

Решаем:

$$2x — x > -2 — 3 \Rightarrow x > -5$$

Шаг 3: Второе неравенство

$$\log_6(3x — 1) \leq \log_6(9x + 4)$$

Основание $6 > 1$, функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$3x — 1 \leq 9x + 4$$

Решаем:

$$-6x \leq 5 \Rightarrow x \geq -\frac{5}{6}$$

Шаг 4: Совместим всё вместе

Итак, что у нас есть:

• ОДЗ: $x > 2$
• Из первого логарифма: $x > -5$
• Из второго логарифма: $x \geq -\frac{5}{6}$

Пересечение всех условий:

$$x > 2$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{x \in (2;\ +\infty)}$$

б)

$$\begin{cases} \log_3(6x — 1) \leq \log_3(9x + 11) \\ \log_6(3 — x) > \log_6(4x — 1) \end{cases}$$

Шаг 1: ОДЗ

Логарифмы определены при положительном аргументе:

1. $6x — 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{6}$
2. $9x + 11 > 0 \Rightarrow x > -\frac{11}{9}$
3. $3 — x > 0 \Rightarrow x < 3$
4. $4x — 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{4}$

Ищем пересечение:

$$x > \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad x < 3 \Rightarrow \boxed{x \in \left( \frac{1}{4};\ 3 \right)}$$

Шаг 2: Первое неравенство

$$\log_3(6x — 1) \leq \log_3(9x + 11)$$

Основание $3 > 1$, функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$6x — 1 \leq 9x + 11 \Rightarrow -3x \leq 12 \Rightarrow x \geq -4$$

Шаг 3: Второе неравенство

$$\log_6(3 — x) > \log_6(4x — 1)$$

Основание $6 > 1$, функция возрастает ⇒ знак сохраняется:

$$3 — x > 4x — 1 \Rightarrow -5x > -4 \Rightarrow x < \frac{4}{5} = 0{,}8$$

Шаг 4: Совместим всё

• Из первого логарифма: $x \geq -4$
• Из второго логарифма: $x < 0{,}8$
• ОДЗ: $x \in \left( \frac{1}{4};\ 3 \right)$

Объединяем:

$$x \geq -4 \quad \text{и} \quad x < 0{,}8 \quad \text{и} \quad x \in \left( \frac{1}{4};\ 3 \right) \Rightarrow x \in \left( \frac{1}{4};\ 0{,}8 \right)$$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{x \in \left( \frac{1}{4};\ 0{,}8 \right)}$$