ГДЗ 10-11 Класс Номер 45.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\log }_{\frac{1}{3}}x\le 2$;

б) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge -3$;

в) ${\log }_{0,2}x<3$;

г) ${\log }_{0,1}x>-\frac{1}{2}$

Решить неравенство:

а) ${\log }_{\frac{1}{3}}x\le 2$;
${\log }_{\frac{1}{3}}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2$;
$x\ge \frac{1}{9}$;
Ответ: $x\in [\frac{1}{9};+\mathrm{\infty })$.

б) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge -3$;
${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge {\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$;
$0<x\le 8$;
Ответ: $x\in (0;8]$.

в) ${\log }_{0,2}x<3$;
${\log }_{0,2}x<{\log }_{0,2}(\mathrm{0,2}{)}^3$;
$x>\mathrm{0,008}$;
Ответ: $x\in (\mathrm{0,008};+\mathrm{\infty })$.

г) ${\log }_{0,1}x>-\frac{1}{2}$;
${\log }_{0,1}x>{\log }_{0,1}(\mathrm{0,1}{)}^{-\frac{1}{2}}$;
$0<x<\sqrt{10}$;
Ответ: $x\in (0;\sqrt{10})$.

а) ${\log }_{\frac{1}{3}}x\le 2$

Шаг 1. Основание логарифма $\frac{1}{3}\in (0;1)$, то есть меньше единицы, значит логарифмическая функция убывает.

Шаг 2. Когда функция убывает, знак неравенства меняется при переходе к подлогарифмическим выражениям:

$${\log }_{\frac{1}{3}}x\le 2\Rightarrow x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^2$$

Шаг 3. Посчитаем:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$$

Шаг 4. Учитываем область определения логарифма:

$$x>0\Rightarrow \text{ОДЗ: }x\in (0;+\mathrm{\infty })$$

Итог: условие $x\ge \frac{1}{9}$ не противоречит ОДЗ.

Ответ:

$$x\in [\frac{1}{9};+\mathrm{\infty })$$

б) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge -3$

Шаг 1. Основание логарифма $\frac{1}{2}<1\Rightarrow$ функция убывает.
Следовательно, при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется.

Шаг 2. Представим правую часть:

$$-3={\log }_{\frac{1}{2}}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\right)\Rightarrow {\log }_{\frac{1}{2}}x\ge {\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\Rightarrow x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$$

Шаг 3. Вычислим:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8\Rightarrow x\le 8$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ:

$$x>0\Rightarrow x\in (0;8]$$

Ответ:

$$x\in (0;8]$$

в) ${\log }_{\mathrm{0,2}}x<3$

Шаг 1. Основание $\mathrm{0,2}<1\Rightarrow$ логарифмическая функция убывает
Значит, при переходе к подлогарифмическому выражению, знак неравенства меняется.

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

$$3={\log }_{\mathrm{0,2}}(\mathrm{0,2}{)}^3\Rightarrow {\log }_{\mathrm{0,2}}x<{\log }_{\mathrm{0,2}}(\mathrm{0,2}{)}^3\Rightarrow x>(\mathrm{0,2}{)}^3$$

Шаг 3. Вычислим:

$${\mathrm{0,2}}^3={\left(\frac{1}{5}\right)}^3=\frac{1}{125}=\mathrm{0,008}$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ:

$$x>0\Rightarrow x\in (\mathrm{0,008};+\mathrm{\infty })$$

Ответ:

$$x\in (\mathrm{0,008};+\mathrm{\infty })$$

г) ${\log }_{\mathrm{0,1}}x>-\frac{1}{2}$

Шаг 1. Основание $\mathrm{0,1}<1\Rightarrow$ логарифм убывает, значит при переходе к подлогарифмическому выражению знак меняется.

Шаг 2. Преобразуем:

$$-\frac{1}{2}={\log }_{\mathrm{0,1}}(\mathrm{0,1}{)}^{-1\mathrm{/}2}\Rightarrow {\log }_{\mathrm{0,1}}x>{\log }_{\mathrm{0,1}}(\mathrm{0,1}{)}^{-1\mathrm{/}2}\Rightarrow x<(\mathrm{0,1}{)}^{-1\mathrm{/}2}$$

Шаг 3. Вычислим:

$$(\mathrm{0,1}{)}^{-1\mathrm{/}2}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{0,1}}}=\sqrt{10}$$

Шаг 4. Учитываем ОДЗ:

$$x>0\Rightarrow x\in (0;\sqrt{10})$$

Ответ:

$$x\in (0;\sqrt{10})$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{{\displaystyle x\in [\frac{1}{9};+\mathrm{\infty })}}$
б) $\boxed{{\displaystyle x\in (0;8]}}$
в) $\boxed{{\displaystyle x\in (\mathrm{0,008};+\mathrm{\infty })}}$
г) $\boxed{{\displaystyle x\in (0;\sqrt{10})}}$